Леонардо да Винчи (1452 - 1519) БИОГРАФИЯ и ТВОРЧЕСТВО

«Эта книга станет справочником. Она сложилась из множества страниц, которые я в неё вписал, надеясь впоследствии привести все в порядок ... и поэтому, о Читатель, не проклинай меня за то, что интересующих меня предметов слишком много, ...» Leonardo


Top Art
Украинский портАл
Яндекс.Метрика

Поиск по сайту

changemoney.me

Приложение закона рычага - нить, укрепленная за два конца

Рейтинг пользователей: / 2
ХудшийЛучший 

Часть четвертая. МЕХАНИКА ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ - Глава 3. ВЕС И РЫЧАГ

§ 5. Приложение закона рычага - нить, укрепленная за два конца

Проблема равновесия на двух наклонных плоскостях возникла у Леонардо, как мы упоминали выше, невидимому в связи с его работой над условием равновесия коленчатого рычага в качестве одного из частных случаев, каких он разбирает весьма значительное количество. Из множества этих случаев он большую часть разбирает мимоходом, в одной-двух записях, некоторым уделяет значительно больше, а совсем небольшому числу случаев — очень много места и времени. Из таких очень подробно рассмотренных Леонардо частных задач на коленчатый рычаг на первом месте, несомненно, стоит рассмотрение с разных точек зрения нити, укрепленной за два свои конца и провисающей под действием либо собственного веса, либо подвешенного к ней в середине груза. Рассмотрение это занимает начало и значительную часть середины "Кодекса Арундель" и очень большое место в более позднем кодексе "Е"; относящиеся к нему страницы, взятые вместе, составляют, пожалуй, самую большую из всех глав, отведенных Леонардо не только механике, но и любому частному научному вопросу. Несомненно, что такой усиленный интерес к данному кругу вопросов находился в тесной связи с запросами техники, интересовавшими Леонардо еще в период его усиленной инженерской деятельности во время его первого пребывания в Милане.

Весьма возможно, что связующим звеном здесь являлись упомянутые нами работы над тамбуром Миланского собора, требовавшие расчета прочности перекрытий, арок и сводов; в построении последних немалую роль играли цепи, тросы, канаты; размышления над их нагрузкой и сопротивляемостью, возможно, и привели Леонардо к проблеме нити, укрепленной за два конца. Как бы то ни было, но уже в относящихся к первому миланскому периоду записях кодекса "А" мы находим отражение первых работ его над этим вопросом или, вернее, комплексом вопросов. Уже в этих ранних записях Леонардо ставит перед собой все те частные проблемы, которыми будет усиленно заниматься в дальнейшем: во-первых, основную проблему — как нагружаются ветви нити, когда к ней, не в середине, подвешен определенный груз; во-вторых, можно ли и какими грузами выпрямить нить, провисающую под действием подвешенного между точками укрепления груза; и, в-третьих, где порвется излишне нагруженная нить, подвешенная за два конца. Рассмотрим все эти проблемы в постепенной их разработке.

Первая проблема, как уже сказано, является основной и разработана Леонардо наиболее подробно. Первый подход к проблеме, правда, поставленной несколько иначе, чем выше сказано, мы находим в кодексе "А". Здесь Леонардо пытается определить, как провиснет нить, концы которой укреплены на двух опорах разной высоты, и уже затем переходит к распре- делению нагрузки между двумя опорами. Запись эта такова:

"Предложение. При самом низком положении дуги (рис. 126), образуемой нитью, более длинной, чем расстояние между ее концами, и поддержанной на этих концах двумя опорами разной высоты, она будет касаться земли ближе к меньшей опоре во столько раз, сколько раз меньшая высота содержится в большей.

"Например, если опора ab помещается 2 раза в большей "поре cd, то расстояние, остающееся между eb, помещается также 2 раза в de.

"Весомое тело, подвешенное на нити, концы которой укреп лены на двух опорах разной высоты, будет лежать между равными углами, основания которых будут тем более широки одно, чем другое, чем один конец будет более высок по сравнению с другим.

"Предложение. Вес, подвешенный на нити и могущий свободно опускаться до наиболее низкого положения своей дуги, остановится между пирамидами равных пропорций (infra aequali proportioni di piramide — имеются, очевидно, в виду площади треугольников) (рис. 127).

"Предложение. Вес, расположенный между пирамидами равных пропорций, будет тем более близок к одной из своих опор, чем к другой, сколько раз меньшая помещается в большей.

"Предложение. Груз, подвешенный к дуге свободно висящей нити, будет отдавать тем большую часть своего веса одной из опор, чем другой, чем одна меньше другой, или чем меньше одно другого основания двух пирамид, или чем меньше одна часть нити по сравнению с другой.

"Предложение. Невозможно, чтобы вес остановился на нити на середине расстояния между двумя неравными опорами, если даже этот вес опустится до самой низкой глубины центра земли" (А. 48 r.).

Приведенная запись, не использованная, насколько нам известно, ни одним из исследователей механики Леонардо, весьма интересна. Будучи помещена в тетради между различными другими записями, относящимися к вопросу о нагрузке и прочности сводов, она подтверждает наше предположение о тесной связи между строительными работами Леонардо и усиленным вниманием к проблеме нагрузки нити, укрепленной на двух опорах; эта же запись показывает лишний раз, и притом весьма разительно, как глубокое техническое чутье Леонардо подводило его к исключительно тонкой и правильной постановке вопросов, для своего ответа требовавших больше математических навыков и знаний, чем их было у самого Леонардо и у многих поколений механиков, живших после него, не исключая и великого Галилея. Действительно, достаточно открыть ременный подробный курс теоретической механики Сошлемся хотя бы на А. А. Эйхенвальда. Теоретическая физика, ч. III. Механика твердого тела. М.-Л., Гиз, 1942. На стр. 67 и ел. §§ 53 и 54 имеем: , чтобы убедиться в близости рассматриваемой Леонардо задачи провеса нити под действием собственной тяжести к задаче определения давления в своде: последняя, насколько можно судить из всех записей кодекса, окружающих данную, и была основной для Леонардо. Он, очевидно, столь глубоко проникал в сущность рассматриваемых и обдумываемых им технических явлений, что приходил к сближениям, которые затем не мог ни теоретически обосновать, ни полностью использовать.

Самый подход Леонардо к поставленной им задаче определения провеса нити, несомненно, был вначале чисто экспериментальным. Установить две опоры с высотами, относящимися, как один к двум, подвесить на них нить и измерить расстояние между ее наинизшей точкой и опорами было делом нетрудным. При этом Леонардо, конечно, без особого труда установил, что расстояние между низшей точкой и более высокой опорой значительно больше, чем расстояние между той же точкой и низкой опорой. Хотя полной пропорциональности между высотами опор и расстояниями не получалось, Леонардо все же счел возможным сформулировать закон, гласящий, что расстояния пропорциональны высотам; он полагал, что всякий физический закон должен иметь вид простой пропорции, и учитывал, как он обычно делает, неизбежные неточности опыта — трение в точках укрепления, сопротивление воздуха при падении тел и т.п. Фактически расстояния при высотах опор у1=2 и у2=1 определяются из такой формулы, правда приближенной и действительной только при малых провесах, если принять а постоянным.

Мы уже говорили, что более точное определение провеса нити под действием собственной тяжести было, конечно, совершенно не доступным для Леонардо. Вообще эта задача, возможно, при первом же подходе, оказалась слишком сложной, во всяком случае, в своих дальнейших записях Леонардо возвращается к ней только мимоходом. Зато утверждение, заключающееся в четвертом из предложений, приведенной выше, записи кодекса "А", в дальнейшем все в большей и большей мере занимает его. Предложение это гласит: груз, подвешенный в свободно висящей на двух опорах разной высоты нити, так распределяет свой вес между этими опорами, что части этого веса обратно пропорциональны высотам опор, или расстояниям точки наибольшего провеса до опор, или соответствующим длинам нити.

Совершенно естественно, что, перейдя от технических задач по конструированию и расчету арок и сводов к рассмотрению вопросов, связанных с висящей на двух опорах нитью Леонардо наиболее заинтересовался именно теми, которые касались нагрузок, распределения тяжести на опоры. Вполне понятно, что именно эта проблема оказалась в его занятиях на первом плане.

Легко убедиться в том, что утверждение, высказанное Леонардо, неправильно и сформулировано им опять-таки на основе стремления дать простейшее соотношение пропорциональности. Действительно, натяжение нити, укрепленной на более низкой опоре, будет больше натяжения нити, укрепленной на опоре более высокой, поскольку натяжения нити обратно пропорциональны косинусам углов между направлением нити и горизонталью, а у малой опоры угол этот будет большим. Но, установив это и не имея возможности точно измерить разницу давлений, Леонардо, принимающий углы между наклонами нити и горизонталью равными, а отношение между основаниями равным отношению между высотами, естественно, предполагает, что вес тела, подвешенного в наинизшей точке нити, разделяется в том же отношении. Так, если одна опора вдвое выше другой и подвешенный груз равен трем, малая опора несет 2 и большая 1, что неправильно.

То же утверждение высказывается Леонардо и в другой записи этого раннего кодекса "А":

"Груз, подвешенный сверху над нитью или поддерживаемый снизу на балках, укрепленных своими концами в разных местах, будет отдавать тем большую часть своего веса одной опоре, чем точка опоры одной будет ближе к перпендикуляру, опущенному из центра груза, по сравнению с другой — соседней" (А. 47 v.).

Вышеприведенное правило Леонардо, несомненно, базировал на простейших экспериментальных данных; так, он, (мы в этом убедимся несколько ниже) для определения давлений обоих концов нити не укреплял их на опорах, а держал в руках и просто, по ощущению, определял разности весов.

Несколько другой способ экспериментирования мы видим в продолжении только что приведенной нами записи кодекса "А", которое прекрасно рисует всю обстановку ранних работ Леонардо над данным вопросом.

"Во всякой подвешенной вещи, способной гнуться, та часть, которая будет более удалена от своих опор, если только вещь эта имеет равномерную толщину и состав, будет больше опускаться из своей первоначальной прямизны (рис. 128).

"Вес, подвешенный на конце рычага bа, сделанного из любого вещества, будет поднимать тем больший вес на конце противорычага сb по сравнению со своим весом, сколько раз противорычаг помещается в рычаге (рис. 129).

"Если свод (l´arco) при своем стремлении сломаться действует с силой (fa jorza) 200 фунтов, то прибавь ему для сопротивления (per contralto) 200 фунтов веса или силы, и будет хорошо" (А. 47 v.).

В приведенной записи мы, во-первых, опять встречаем подтверждение правильности нашего предположения, что к проблеме провеса нити и нагрузки ее концов Леонардо пришел от своих строительных работ, в частности работ над арками и сводами; во-вторых же, видим, что вопрос о нагрузке нити подвешенным грузом он пытается свести к простому прямолинейному рычагу. Так, из второго рисунка сопровождающего его текста ясно, что он рассматривает каждую половину нити от точки подвеса груза до места схода со шкива как прямолинейный рычаг, одним плечом которого является радиус шкива, а другим — длина нити от центра шкива до точки подвеса. Делая такое предположение, Леонардо приходит к заключению, что в частном случае, изображенном на рис. 129, при радиусе шкива, помещающемся в длине нити до точки подвеса 30 раз, груз в 600 единиц веса будет поддерживать в горизонтальном положения груз в 20 единиц.

Предположение, делаемое Леонардо, однако совершенно ошибочно, так как он не принимает во внимание направление действия сил и считает гибкую нить твердым плечом рычага. Впрочем, Леонардо, по-видимому сам, экспериментируя, убедился в неправильности своего утверждения, так как на рисунке изобразил вес в 20 единиц не свободно висящим положении равновесия, а подпертым особой колонкой.

Несколькими страницами ниже в этом же кодексе "А" Леопард" с теми же критериями подходит к разрешению второй из названных выше проблем, логически вытекающей из только что рассмотренной постановки вопроса. Он пытается дать ответ на вопрос: возможно ли любыми грузами, подвешенными на концах нити, перекинутых через блоки, выпрямить нить, провисающую под действием груза, подвешенного в ее середине?

"О грузах (рис. 130).

"Невозможно выпрямить нить, длина которой равна 100 локтям, если она подвешена между шкивами с расстоянием в 100 локтей и на каждом подвешен вес в 1000 фунтов. Я утверждаю, что если ты подвесишь один вес в середине этой нити, весящей 100 фунтов, то нить раньше лопнет, чем поднимет, выпрямляясь, свой груз. И кажется почти невероятным утверждение, что 2000 фунтов веса, укрепленного на концах нити, не должны поднять 200 фунтов, т. е. вес нити и вес, помещенный в середине нити. Причина же этого та, что вес, помещенный в середине нити, производит то же самое действие (ofitio) на противовес в 1000 фунтов, которое производил бы такой те вер привешенный к концу рычага длиной в 40 локтей. Следовательно, для того чтобы найти истину в отношении этого действия т. е. возможно ли, чтобы вес в 2000 фунтов выпрямил нить, измерь диаметр шкива (delsocio della girella), поддерживающего вес в 100 фунтов, и посмотри, сколько раз половина этого диаметра помещается в расстоянии между ? шкива и ? веса в 100 фунтов по линии оrа, и так как эта часть диаметра, а именно or, помещается 200 раз в расстоянии до (точки, помещающейся) над серединой нити, и также поступает другая половина, что дает 400, то, следовательно, 400 на 100 дает 40000 и, кроме того, имеется вес нити. Таким образом, закон (la regola) веса, (привешенного) под (нитью), таков, что, будучи длинной, она не выпрямится, не порвавшись" Текст последней фразы в оригинале мало понятен. Мы переводим его вслед за Равассон-Моллиеном. В оригинале он звучит так: . (А. 51 v.).

Здесь Леонардо, в противоречии с ранее приведенной записью, высказывает вполне правильное утверждение, наверное, без особого труда полученное им экспериментальным путем, что любые грузы на концах не выпрямят нить, нагруженную в середине. Но объяснение, которое он дает этому правильно подмеченному, по его мнению, весьма поразительному, явлению, идет по неправильному пути, приведшему его раньше к неправильному результату. Он рассматривает нить и в данном случае как рычаг с точкой опоры в центре шкива.

Несклонный вообще удовлетворяться чем бы то ни было, Леонардо не удовлетворяется и этим неправильным объяснением; он продолжает размышлять и экспериментировать над вопросом распределения веса, подвешенного в середине между опорами. Две записи, относящиеся к 1499 г., мы находим в "Атлантическом кодексе". Одна из них, более короткая, показывает исследователя — опять-таки экспериментирующим, с одним концом нити в руке, в то время как другой натягивается грузом:

"Попробуй (sperimenta) держать рукой нить в сn и посмотри, сколько веса помещенного в f, заставит вес r находиться под c. В том отношении, в котором находится линия тn с линией nf, будут находиться и вес f с весом т" (С. А. 158 v. b.)(рис. 131).

Из суммарной записи следует, что Леонардо разделил расстояние между шкивами на определенное число частей, подвесил в какой-либо части этого расстояния нить, вертикально натянутую грузом, и затем, держа в руке левый конец второй основной нити, нагруженной определенным грузом, правый конец нагружал различными грузами до тех пор, пока подвес груза на основной нити не совпадал с подвесом вспомогательным. При этом он получал треугольники провеса с определенным соотношением катетов и гипотенуз, что определяло и углы между ними. Поэтому Леонардо, для получения правильного решения, оставалось только сказать, что составляющие силы тяжести груза обратно пропорциональны отношениям между длинами ветвей нитей и их расстояниями до вертикали. Но для него такое решение слишком сложно, и он считает составляющие обратно пропорциональными длинам ветвей нити, что неправильно. Как пришел Леонардо от вышеописанного эксперимента к данному неправильному выводу, не вполне понятно, так как цифры и вспомогательные линии на чертежах, сопровождающих приведенный тест, нам расшифровать не удалось.

К тому же времени, по-видимому, относится и вторая датированная (одна из немногих относящихся к механике) запись:

"В первый день августа 1499 г. я написал здесь о движении и весе. Вертикальная нить (рис. 132) укреплена в n. и не может двигаться.

"Возможно, что если груз подвешен к одной стороне веревки, простейшим образом поддерживаемой блоком, то такой груз может быть перевешен другим — меньшим грузом, подвешенным на противоположной стороне нити, но движения их никогда не будут равными; наоборот, одно движение будет находиться в таком отношении с другим, в каком один вес будет относиться к другому, но обратном. Например, скажем, что одна из сторон нити, поддерживаемая одним блоком, будет ms, другая сторона будет тс; я говорю: если малый вес опускается, сгибая веревку fm до тех пор, пока груз не поднимется, он произведет все движение, подобное ab, и отношение, которое будет существовать между nа и ab, окажется тем же, что между s и весом с. И это ясно из приведенной выше пропорциональности движения. Обрати внимание на то, что окружность (дуга) nbd изображает "постоянно истинную длину нити nт, а остальное, выходящее за эту окружность (дугу), есть вся нить, недостающая в стороне ms, и таково будет постоянно движение, производимое грузом s, если нить не удлиняется, каковое явление выходит за пределы правила и есть случайность (cosa accidentale), и общий закон для него не может быть дан..." (С. А. 104 r. b.).

В данной записи мы, очевидно, находим отражение эксперимента, близкого к описанному выше. Правый конец нити держится в руке или укреплен наглухо, и вертикальная нить служит опять указанием положения центрального груза. При этом Леонардо констатирует, во- первых, то, что груз с, даже будучи меньше груза s, может поднимать его, что правильно, когда угол тcf больше 120°. Затем высказывается положение, что длина провеса нити, равная nс, так относится к подъему груза s, как самый груз s относится к грузу с.

Утверждение это неправильно, но оно свидетельствует о страстном стремлении, характерном для Леонардо, никогда не удовлетворявшегося достигнутым, найти какие-то зависимости, которые бы связывали между собой отдельные элементы упорно разрешаемой им задачи. При углах прогиба, близких к 60°, Леонардо вряд ли мог заметить ошибочность своего искусственного закона. Но, увеличивая угол или же груз, привешенный в середине нити, он легко мог обнаружить эту ошибочность. Он, наверное, ее и обнаружил, так как в близкой, по-видимому, по времени записи того же "Атлантического кодекса" уже ни словом не упоминается вышеприведенный закон.

Запись эта гласит:

"Если нить, которая поперечно тянет подвешенное тело, будет соединена с верхним концом нити, поддерживающей вес под прямым углом, то ты найдешь, что вес движущий будет находиться в таком отношении с весом движимым, в каком находятся между собой ширина между перпендикулярами пределов движения и длина нити, поддерживающей вес.

"an (рис. 133) есть поддерживающая нить; nf есть нить, которая тянет вес в поперечном направлении; n — прямой угол, образующийся в месте соединения двух нитей.

"Итак, я нахожу, что груз, имевшийся в b, весом 1, перетянут в n, и что перпендикуляры пределов движения b и n, т. е. ab и cn, отстоят друг от друга на меру, помещающуюся 4 раза в поддерживающей вес нити, т. е. an, а следовательно, движущий вес 1 будет 4 раза помещаться в весе n, движимом им.

"Причина этого та, что, когда груз укреплен на нити ab (рис 134), весь вес b находится в a, f же не чувствует ничего; когда же груз будет в da, весь вес будет в d, и а будет совершенно лишено его. Мы имеем, что каждая середина равно участвует в равных концах, т же находится на середине линии ас; и если, когда груз был в b, а чувствовало его полностью, то так же поступает d, когда вес находится в с; когда же он находится в середине, то вес поддерживает r, каковое находится перпендикулярно над четвертью движения, следовательно, четверть веса b будет весом, который груз b будет передавать в r" (С. А. 268 v. b.).

В данной записи отражен, очевидно, следующий этап опытов Леонардо, дающий вполне правильный результат. Нить опять одним своим концом укреплена неподвижно, другой же натягивается грузиком, перекинутым через шкив. Нить нагружена определенным весом, в данном случае равным 4. Затем к концу нити, перекинутой через шкив, прикрепляется также определенный грузик, в данном случае 1, причем шкив помещается так, чтобы угол между двумя ветвями нити был равен 90°. Проверя ряд опытов на такой установке, меняя грузики на свободном конце нити и пытаясь установить какое-нибудь постоянное соотношение между отдельными величинами с которыми он оперирует, Леонардо и приходит к следующему утверждению: при прямом угле n груз, подвешенный в середине нити, будет так относиться к грузу, подвешенному на свободном конце ее, как расстояние между точкой подвеса нити и основанием перпендикуляра из центра тяжести тела на горизонталь относится к длине нити. Перпендикуляр этот в данном, как и в предыдущих опытах, по всей вероятности, изображался вспомогательной вертикальной линией, имеющей продольное перемещение.

Итак, если мы добавим в чертеже Леонардо (рис. 133) буквы s и p и обозначим ими грузы в середине и в конце нити, и разложив силу тяжести груза s на две взаимно перпендикулярные составляющие по направлениям nf и nа, мы получим из подобия прямоугольных треугольников ? can и ? оrn, что и требовалось доказать.


Мы не можем быть уверены в том, что Леонардо смог сам отличить приведенное правильное решение от двух вышеизложенных неправильных. Но, по-видимому, он все же придавал данному месту особое значение, так как только в нем он не ограничивается формулировкой обязательной закономерности, но дает и нечто вроде доказательства ее. В этом обосновании он, как обычно, не идет по пути строгого геометрического доказательства; он и не мог его дать, не умея построить параллелограмм сил, но он применяет рассуждение, которое неоднократно применял при рассмотрении разложения или сложения сил или движения (например, при рассмотрении отражения при ударе, см стр. 541). Он рассматривает два предельных случая, при одном из которых вес будет равен нулю, при другом равен весу s; отсюда он заключает, что так как s и ab остаются постоянными, то по мере роста са от нуля до ab вес Р в такой же мере растет от нуля до величины s; следовательно, когда са есть четверть ab, то и вес р есть четверть веса s и т. д.

В этом рассуждении, составляющем часть приведенного выше отрывка, ничего не говорится о необходимости для угла n быть прямым. А именно эта необходимость, чего, возможно, не сознавал Леонардо, является в данном случае основной и наиболее важной. Только введя в круг величин, которыми он оперирует угол между ветвями нити, Леонардо мог и должен был притти к правильному результату.

Нетрудно, однако, убедиться в том, что правильный результат, полученный в последней из приведенных нами записей, даже если Леонардо выделял его из ряда других неправильных результатов, имел, слишком частный, единичный характер чтобы на нем можно было основываться. И действительно, в начале "Кодекса Арундель", датированном 1508 г., мы имеем на двенадцати первых страницах попытку пересмотреть вопрос о распределении веса между двумя поддерживающими нитями. Место это является единственным образцом сводной трактовки одного вопроса на ряде страниц в дошедшем до нас научном наследии Леонардо. Именно поэтому записи первых листов "Кодекса Арундель" представляют для нас особый интерес, несмотря па что, мы все же принуждены будем, для краткости, не полностью привести и даже не полностью пересказать эти листы.

Начиная с рассмотрения поведения груза, подвешенного на двух нитях на плечах равноплечих весов, он дает четыре рисунка и подними чрезвычайно краткий текст:

"Груз, подвешенный к плечу весов на двойной нити (рис. 135), будет всегда иметь свой подвес, который или целиком или частично будет потенциальным подвесом" (Аr. 1 r.).

В этом утверждении заключается правильная констатация того, что для равновесия весов решающим является перпендикуляр на плечо, восстановленный из центра тяжести груза, подвощенного на двух нитях. Ни в какой мере не доказывая это утверждение, очевидно полученное экспериментально, и помечая на концах нитей нагрузки, пропорциональные расстоя- ниям до вертикали из центра тяжести, в соответствии со своей изложенной выше неправильной теорией, Леонардо обращается на следующей странице к детальному рассмотрению этого же опроса, надеясь, очевидно, найти обоснование выставленного им положения.

"По 4-й 9-го здесь (рис. 136) распределение естественной тяжести не изменяется при изменении больших или меньших углов, образуемых нитями в их соединении с грузом, но изменяется только приобретаемая тяжесть, увеличивающаяся с увеличением угла, образуемого нитями.

"По 6-й 9-го груз 3 (рис. 137) не распределяется на реальные плечи весов в той пропорции, в какой находятся эти плечи, но в той пропорции, которую имеют между собой потенциальные плечи.

"В этом примере изменен только естественный вес, приобретаемый же вес остается неизменным, если не изменяется наклонность нити bc" (Аr. 1 v.).

В первом абзаце этой записи Леонардо впервые в данной связи вводит понятие приобретаемого веса — "gravitas secundum situm", введенное, как мы помним, Иорданом Неморарием и привлекавшееся О Леонардо не раз при рассмотрении равновесия простых весов, равновесия на наклонных плоскостях и т. п. Как и в других случаях, понятие "gravitas secundum situm", само по себе довольно неопределенное, в данном случае обозначает силу, действующую в условиях данной задачи; в современной терминологии это — составляющая силы тяжести подвешенного груза, действующая в направлении нитей. Утверждение же первого абзаца правильно констатирует, что при том же весе груза и при тех же расстояниях точек подвеса до вертикали из центра тяжести груза большие углы прогиба дают большее натяжение нити.

При этом цифры, поставленные в точках укрепления концов нити, показывают, что, по мнению Леонардо, естественный вес распределяется пропорционально расстояниям этих точек до вертикали, т. е. независимо от угла, образуемого нитью, что также правильно. Таким образом, утверждение первого абзаца и первого рисунка может быть расшифровано так: естественный вес груза, подвешенного на нити, разделяется на две части, обратно пропорциональные расстояниям от вертикали до точек укрепления нитей; но к этому естественному весу прибавляется еще некоторая добавка, величина которой зависит от величины угла, образуемого нитью, и растет вместе с ним. Оба эти утверждения, как мы уже говорили, хотя и достаточно неуклюжи, но правильны.

Второй и третий абзацы записи как бы дополняют и углубляют утверждения первого абзаца. Действительно, второй абзац уже определенно констатирует, что окончательный вес по положению груза, подвешенного на нити, разделяется между концами нити обратно пропорционально потенциальным плечам или перпендикулярам из пересечения вертикали со стержнем на направления нитей.

Это утверждение также (как легко убедиться) совершенно правильно, оно опять-таки приводит к учету угла, образуемого направлениями ветвей нити и определяющего собой натяжение этих ветвей.

Наконец, третий абзац констатирует как бы следствие из предшествующего, что приобретаемый вес каждого данного естественного груза не изменяется, когда этот груз укреплен на нити с определенным наклоном, если при этом не изменяется угол этого наклона.

Третий лист кодекса вводит весьма характерный вспомогательный прием, пользование каковым мы подразумеваем в доказательстве закона рычага, данном Альберти:

"Для того чтобы в таких расчетах иметь дело с целыми числами, всегда нужно брать величины весов равными числу частей, на которые разделены плечи весов, на каковые ты их хочешь подвесить, и разделить на равные части отношения весов и плеч и затем переменить местами отношения; и так ты сделаешь с каждым грузом, и будет хорошо" (Аr. 3 r.).

После разъяснения технического приема уравнения общего числа единиц длины на плечах весов и общего числа единиц веса в грузе, следует пример, демонстрирующий изложенный нами выше способ разделения естественного веса груза между двумя концами нити; затем делается следующая характерная оговорка:

"Рычаг плеча db (рис. 138) и плеча bf осуществляется линией de. и линией fе, и если бы эти плечи были сделаны из вещества, которое бы не сгибалось, то привешенный груз 8 разделялся бы на 2 равные части и из них 4 чувствовало бы ed и 4— ef, но так как это нить, то она подчиняется закону 4-ой 9-го" (Аr. 3v.).

Здесь Леонардо уже четко отмечает невозможность безоговорочно сводить вопросы гибкой нити к жестким рычагам.

Следующая запись той же страницы окончательно устанавливает зависимость натяжения нитей от образуемого ими угла.

"Груз, укрепленный в углу нити, будет передавать тем больший вес нити, чем больше будет этот угол.

"То тело будет оказываться более тяжелым, которое более удалено от центральной линии укрепления своей опоры.

"Так здесь (рис. 139) грузы р, q, I, n, укрепленные в углах n, т. s, о. Грузы эти расположены, как указано выше, т. е. они одинаково удалены от центральной линии своего укрепления, но, несмотря на это, они не равны потенциально (in potenzia) в такой же мере как они равны по естественной тяжести, и происходит это оттого, что углы нити, в которых они укреплены, не одинаковы по величине" (Аr. 3 v.).

После этой констатации, как бы развертывающей краткое утверждение первого абзаца первой страницы, дается подробное изложение второго абзаца этой же страницы, ответ на коренной вопрос: как же распределяется "по положению" вес груза, подвешенного на нити?

"Здесь разыскивается, какую часть веса 4 (рис. 140) чувствует нить an и какую — нить fn.

"Найди число, делящееся на 3 и 4, например 12, на него раздели линию ас и также линию df, затем посмотри, что из них остается вне центральной линии bg, а именно части аb с одной стороны и ef — с другой, каковые являются реальными плечами весов. И ты скажешь, что аb есть половина двенадцати, т. е. 6, и ef есть 3/4 двенадцати, т. е. 9. Итак, здесь при реальных плечах весов ab и ef потенциальные плечи будут ет и ео" (Аr. 3 v.).

Высказанное здесь довольно пространно правильное утверждение не доказано, а только разъяснено построением очевидно, доказательство было не по силам Леонардо, так как требовало четкого представления о разложении сил, к которому он, как мы неоднократно видели, подходил вплотную, но в котором не мог вполне разобраться.

На следующей странице Леонардо напоминает о том, что кроме действия веса в каждой ветви нити надо принимать во внимание противодействие, вызываемое другой нитью Место это, несмотря на его интерес, мы не приводим, чтобы не затруднять читателя в нелегком следовании его по этапам развития мысли Леонардо. Затем он переходит к новой попытке установления закона распределения веса груза между ветвями нити:

"Здесь (рис. 141) полуреальный подвес асе встречается с потенциальным плечом de весов dc и de; плечо это в 4 раза короче плеча dc и, следовательно, в 4 раза сильнее, чем это плечо dc, почему необходимо нагружать его четырьмя такими весами, сопротивляющимися опусканию плеча dc с укрепленным на нем грузом. Из этого можно заключить, что 4 фунта в а сопротивляются опусканию 1 фунта, помещенного в с, так как нить acd натянута двумя равными силами (р), т. о. 4 с одной стороны и 4 с другой, каковые 8 фунтов являются приобретенной тяжестью, если такая нить будет только привязана своими концами без других противовесов. Затем имеется один фунт естественного веса, укрепленный в с. Итак, названная нить выдерживает 9 фунтов весу" (Аr. 4 r.).

Не занимаясь в данной связи разбором последних слов записи, мы в остальном ее содержании видим попытку уточнить двукратно высказанное ранее утверждение о зависимости между натяжением ветвей нити и потенциальными плечами. При этом Леонардо утверждает, что сила натяжения ветви так относится к весу груза, как длина потенциального плеча de относится к длине реального плеча cd, т. е. если добавить к чертежу пунктиром линию тn, изображающую составляющую силы тяжести груза, действующую по направлению правой ветви нити. Оно близко к истине, когда — близко к 90° , т. е. когда угол, образуемый нитью, весьма велик: при малых же величинах угла, а оно значительно отличается от действительности.

Как из характера доказательства, так и из характера рисунка, объясняющего его, с несомненностью можно утверждать, что установленный выше неправильный закон выведен Леонардо из опыта. Действительно, когда угол будет равен, примерно, 82°, и практически натяжение нити будет почти точно в четыре раза больше величины груза с. Получив такой результат и установив ранее, что натяжение зависит от потенциального плеча, Леонардо строит свой рычаг cde с реальным плечом cd и потенциальным de, которому фактически ничего не соответствует.

Однако дальнейшее экспериментирование должно было показать Леонардо ошибочность его утверждения, и в дальнейших листах кодекса он старается подойти к вопросу иначе.

"Здесь (рис. 142) естественный вес есть 2 и всегда так распределен, как этот, поровну между своими опорами ab и ас. Затем прибавляется к каждой из этих опор приобретенный вес, который должна принять нить, тянущая этот груз вне его перпендикуляра. И этот приобретенный вес будет настолько больше или меньше, насколько естественный вес будет больше или меньше вытянут вне названного перпендикуляра. Кроме того, прибавляется третья сила (р), имеющая также естественную тяжесть. Это тяжесть противоположного противовеса, который постоянно должен быть равен своему противоположному, даже если бы он не существовал в действии (in atto) и нить была бы только укреплена жесткой связью за свои концы к чему-нибудь; следовательно, надлежит считать, что здесь существует сила (р) сопротивления, равная весу...

"Пусть будет нить bас, поддерживающая в углу а груз 2, каковое 2 является естественным весом, и этот вес, будучи поддержан двумя нитями, по необходимости распределяется поровну между каждой из них, отчего каждая нить испытывает один фунт. Затем прибавляется к каждой приобретенный вес, рождающийся от веса 2, оттянутого во вне направления своего перпендикуляра. Если при данном расположении вес оттянут под середину линии 6с и встречается с ней в точке е, эта нить bа нагружается половиной той величины, которую поддерживала ас, когда была перпендикулярной, откуда происходит, что эта нить bа поддерживает полтора фунта. И то же делает нить ас. Остается, что нить bа с одной стороны поддерживает вес а, с другой — противовес, дающие вместе 3 фунта" (Аr. 4 v.).

Последний абзац базируется на разобранном нами выше (см. стр. 495) мнении Леонардо о необходимости суммирования действия и противодействия. Основное же его содержание сводится" невидимому, к тому, что добавка веса по положению равна такой доле естественного веса, падающего на данную ветвь нити (хотя в тексте говорится о всем весе), какую часть расстояния между двумя подвесами составляет расстояние между вертикалью из центра тяжести груза и противоположным подвесом, т.е. натяжение данной ветви нити P, причем Q — вес груза. Из этого утверждения, однако, следует, что натяжение нити не зависит от угла, образуемого нитью, что противоречит всем вышеприведенным соображениям. Очевидно, Леонардо, оперируя с углом нити, близким к прямому, при котором приведенная формула действительно примерно правильна, пытается сформулировать по-новому закон натяжения нити. Но он впадает в противоречие с тем, что говорил раньше, и, наверное, скоро замечает из опыта неприемлемость этой новой формулировки. На это указывает уже и то построение, которое он добавочно дает на чертеже, опуская перпендикуляр на направление нити и рассматривая, по-видимому, прямоугольный треугольник ecd, соотношение сторон которого и должно было привести его к правильному решению. На следующем листе (5v.) он в несколько других выражениях повторяет рассуждение листа 268 v. "Атлантического кодекса", рассмотренного нами выше, для случая, при котором нити образуют прямой угол, т. е. выправляет ошибку вышеприведенного рассуждения, не принимающего во внимание угол.

Наконец, на следующем листе Леонардо рассматривает соотношения сторон прямоугольного треугольника, определяющего собой угол прогиба а следовательно, и натяжение ветвей нити.

Опора (ряс. 143) полностью нагружается соединенным с нею весом, опускающимся по прямой линии на этот вес, согласна тому, что сказано на полях противолежащей страницы, и при таких расчетах весов надлежит иметь дело с плечами 2 r и 2-4, Рычаг 2 r кончается в соединении под прямым углом с подвесом ar, противорычаг же 2-4 кончается в соединении под прямым углом с подвесом 4 и 4, т. е. подвесом веса" (Аr. 6 r.).

Утверждение, заключающееся в приведенных словах, совершенно правильно и дает, наконец, вполне соответствующее действительности и общее решение для случая подвеса груза в середине между точками укрепления, расположенными на одной высоте. Это и утверждает Леонардо, предлагающие для определения натяжения ветви нити рассматривать рычаг, одно из плеч которого равно 2-4, прячем на нем подвешен данный груз, а второе — 2 r; на последнее подвешен искомый груз, который может быть определен из этой пропорции.

Приведенная запись не только дает правильное решение запроса, над которым столь долго и упорно бился Леонардо, но позволяет с несомненностью выяснить, как Леонардо пришел к этому решению.

Действительно, имеющееся на чертеже вспомогательное построение показывает, что рассматриваемый случай сначала сводится к уже получившему правильное решение случаю с прямым углом, образуемым нитью. Когда же угол ? уменьшается, то уменьшается и 2 о, причем легко заметить на опыте, что ns, т. е. натяжение нити, увеличивается. Следовательно, можно сделать предположение, что пропорция приобретает для острого угла и можно построить рычаг с плечами 2 • 4 и 2r.

Таким образом, и в данном случае, как в ряде предыдущих, Леонардо продвигается вперед ощупью: он обобщает результаты, получаемые из данного опыта, и заключает подмеченную им тенденцию в форму привычной ему пропорциональности, которая потом осмысляется как частный случай закона рычага и затем опять проверяется на ряде следующих опытов. При таком способе неизбежны ошибки, неизбежно выведение неправильных законов, часть которых мы разобрали выше. Но, с другой стороны, контрольная инстанция опыта неукоснительно должна, в конце концов, указать на правильный путь в тех случаях, когда все понятия, связываемые данной закономерностью, допускают более или менее точное измерение средствами, имеющимися в распоряжении Леонардо.

Добившись правильного и общего: решения, Леонардо тут же показывает применимость его для различных частных случаев как при острых, так и при тупых углах а, образуемых нитью.

"Здесь (рис. 144) потенциальный рычаг db в шесть раз больше своего потенциального противорычага bc, из чего следует, что 1 фунт, помещенный на подвесе, равен по силе (p) 6 фунтам, помещенным в полуреальном подвесе са, и еще 6 фунтов силы (p) прибавляет b. Итак, нить aeb, при помощи фунта, помещенного в an, испытывает силу в 12 фунтов...

Большее плечо весов от и on (рис. 145) никогда не будет вдвое больше одно другого, если их подвесы nа и тр не будут параллельны, что невозможно, так как эти подвесы, соединяясь образуют угол р, и если бы эти линии не соприкасались, тогда угол уничтожился бы вместе с плечами этих весов. По тому что сказано в предпоследнем, плечо on превышает меньше чем в два раза, почему подвес его испытывает больше половины веса р; это "больше" будет находиться в таком отношении со всем весом р, какое имеет часть, не хватающая on для того, чтобы стать вдвое большим, чем от со всем плечом. И все это "больше" есть приобретаемый вес" (Аr. 6 r.).

В противоположность более раннему утверждению Леонардо, как бы ни был мал угол, образуемый нитью, ветви ее всегда испытывают натяжение больше половины веса; этот избыток будет относиться к подвешенному грузу. Если же допустить, что в текст Леонардо вкралась описка (их число в рукописях Леонардо значительно) и что он имел в виду отношение этой прибавки к весу P/2, а не к весу Р. Подставляя из прямоугольного треугольника, получим oa—оn=оа—on. Это показывает, что утверждение Леонардо верно в этой своей части. Правильность последнего утверждения показывает, что Леонардо, придя через ряд заблуждений и ошибок к решению долго занимавшей его задачи, уже может при помощи его решать задачи более конкретные. В частности, он лает правильное объяснение явлению, отмеченному, как мы помним, уже в ранних записях (см. стр. 655), что никакими сколь угодно большими грузами на концах нити нельзя выпрямить ее, если она прогнута грузом, подвешенным в середине... Лист 6 v., в котором доказывается это утверждение, как бы суммирует все вышесказанное. Он гласит:

"Рычаг и потенциальный противорычаг (измерители веса, поддерживаемого углом нити) никогда не будут вдвое больше один другого, так как, находясь в положении, при котором один вдвое больше другого, они немедленно уничтожаются, и здесь кончается сообщество естественного веса с приобретаемым вместе с наименьшим углом из всех острых.

"Если бы было возможно выпрямить нить, растянутую поперек, и уничтожить последний, наибольший из тупых углов, создаваемых весом, поддерживаемым в середине этой нити, тогда сила (р) этой нити была бы бесконечной при поддержке малого веса и рычаг и противорычаг уничтожились бы, что невозможно, так как при таком положении нити ни одной силы нет без рычага.

"Заключение о весе, подвешенном в углу нити, и как он распределяется на каждую сторону этого угла.

"Невозможно, чтобы когда-либо под действием любой силы (p) нить, растянутая поперек, могла выпрямиться, и это тем более невозможно, если она будет иметь какой-нибудь вес. Подвешенный в середине ее длины (рис. 146).

"Доказательство. Пусть dnb — нить, растянута поперек, и е — вес, привешенный к ней. Здесь по 7-й "о равновесии" я построю потенциальный рычаг, плечами какового будут bа и bc и cd и ае — его полуреальные подвесы. Итак, я говорю, что для выпрямления нити dnb ее угол должен постоянно увеличиться и рычаг bc уменьшаться, а противорычаг bа увеличиваться.

И так как этот рычаг делим до бесконечности, то необходимо было бы бесконечно увеличивать вес, для того чтобы уменьшить рычаг, каковой вес пришлось бы бесконечно увели- чивать, если бы нить и его подвесы не порвались" (Аr. 6 v.).

Окончательно, казалось бы, разобравшись в простом случае подвеса груза, вертикаль из центра тяжести которого делят угол, образуемый нитью, пополам, Леонардо отнюдь не удовлетворяется этим. Он переходит к более сложному случаю, когда вертикаль эта не делит угла пополам, например, когда концы нити укреплены на разных высотах. Весь следующий лист кодекса (7 v.) занят разрешением этой задачи.

Сначала Леонардо подходит к вопросу очень осторожно, расчленяя его на две части, а затем на конкретном примере иллюстрирует получаемое им общее правило.

"Здесь (рис. 147) имеется двое весов и одни из них имеют плечи cf и cb, плечи других — еn и еа (фиг. 1), abc — нить, образующая угол (фиг. 2), е — вес, поддерживаемый этой нитью cd — плечо весов, поддерживающее вес е, cf — противоположное плечо весов, где находится двигатель этого веса т. е. а. "nig — наклонная нить, поддерживающая в углу i (фиr. 3) вес k; gi — плечо весов, поддерживающее вес h, gm - второе плечо весов, где находится сопротивление веса k, т. е. n.

"Обе эти фигуры есть одна и та же, но она рассчитана два раза, чтобы не запутывать глаз и один раз рассчитана с одной стороны и другой раз — с другой" (Аr. 7 v.).

Нетрудно понять, что Леонардо рассматривает каждую сторону отдельно; пользуясь установленным им раньше правилом, он находит, что натяжение ветвей нити так относится к весу груза, как длины перпендикуляров из точки подвеса противоположной ветви на вертикаль относятся к длине перпендикуляров из той же точки на направление данной ветви, т. е. (фиг.1), что совершенно правильно дальше иллюстрируется на следующем примере.

"Здесь (рис. 148) вес n поддержан двумя различными силами, т.е. mf и тb. Теперь мне нужно найти рычаг и потенциальный противорычаг этих двух сил bm и fm, из которых силе b будет дан рычаг fe и противорычаг fa. Рычагу fc будет дан подвес еb, к которому приложен двигатель b, и к противорычагу fa дан подвес an, поддерживающий вес n. Устроив равновесие между силой (p) и сопротивлением двигателя и веса, надлежит посмотреть, каково отношение между рычагом fe и противорычагом fa, каковое fa составляет 21/22 противорычага fe. Следовательно, b чувствует 22, если вес n будет 21. Следует второе расположение рычага и противорычага be и bа, с которым соединен подвес eb, соединяющийся с двигателем f, и подвес an, соединяющийся с весом n. Теперь нужно посмотреть, каково отношение между bс — рычагом и ba — противорычагом. Противорычаг составляет треть рычага. Следовательно, один фунт силы в f сопротивляется трем веса в ba, и 21/22 трех фунтов в n, помещенные в b, сопротивляются 22-м, помещенным в ba.

"Окончено правило расчета неравных плеч нити, расположенных под углом" (Аr. 7 v.).

Последняя фраза создает впечатление, что задача окончательно разрешена, правило расчета плеч найдено и можно переходить к следующим вопросам. Но достаточно перевернуть два листа того же "Кодекса Арундель", и оказывается, что это далеко не так. С одной стороны, предложенное правило было, очевидно, слишком сложным и замысловатым для Леонардо-тех- ника; с другой же, мы не должны забывать, что имеем дело с автором "Тайной вечери" и "Джиоконды", творцом, никогда не довольным своим произведением и всегда стремящимся до- стигнуть еще лучшего.

Действительно, начиная с листа 9 r., Леонардо, уже стоя на твердой почве полученных им результатов, приступает к разработке нового способа подсчета натяжений нити.

"Здесь доказывается, почему в таком отношении находятся части веса, подвешенного в углу между двумя сторонами треугольника, которые чувствуют 2 эти стороны, в каком находится одна из этих сторон со своей высотой (рис. 149). Причина того, почему стороны воздействуют так, что их высоты испытывают влияние веса, привешенного к углу таким образом, что линия fc равна этой стороне по определению окружности. И так же можно было сказать, что таково отношение между частью be и всем ас, каково оно между весом, укрепленным в углу, в котором сходятся эти стороны...

"Но в верхнем соединении двух сторон в точке f приобретаемый вес кончается и остается только естественный вес, и когда концы этих сторон начинают разделяться и двигаться круговым движением, тогда они начинают опускаться и тогда рождается приобретаемый вес, называемый силой, каковая хотя и не весит, но исполняет роль веса и приобретает тем большую величину, насколько концы сторон опускаются и мера опускания находится на перпендикулярной линии fc, и потому эта воображаемая линия изменяется при помощи пересечения с прямой, простирающейся от одного конца высоты до другого конца другой высоты. И в то же время с этой линией кончается треугольник, который своим основанием режет линию fc, и то, что внутри его остается от этой линии, называется высотой этого треугольника и является мерой того, насколько опущены края обеих сторон. И поэтому ею измеряется вес, лежащий на названных сторонах, каковой находится в таком же соотношении с естественным весом с, в каком находится эта высота сb со всей высотой fc, или, можно сказать, с одной из сторон, что то же самое" (Аr. 9 r.).

Несомненно, что в конце данной записи Леонардо пропустил (как он делает нередко) упоминание о том, что высота cb со стороной nc обратно, а не прямо пропорциональны отношению нагрузки на нити к естественному весу, как он говорит в начале записи. Под натяжением же нити Леонардо понимает в данном случае "вес, лежащий на названных сторонах", т. е. натяжение двух нитей, вместе взятых. В соответствии с этим даваемая им формула будет совершенно правильной.

Что данное нами толкование приведенной записи точно передает результат Леонардо, доказывают следующие две страницы кодекса, вполне ясные и не требующие особых комментариев:

"Приобретаемый вес создается естественным весом.

"Настолько возрастает приобретаемый вес в сторонах подвешенной под углом нити, насколько уменьшается высота данного угла, в котором подвешен вес.

"Пусть подвешенная под углом нить (рис. 150) будет ctd и высота ее угла будет rt, которая кончается в угле, в котором подвешен вес о.

"Вес о, бывший 2 для нитей, бивших равными своей высоте at и bt. При уменьшении этой высоты или перпендикуляра на половину длины, когда концы нитей опустились в с и d, высота находится в rt — половине at, тогда вес 2, бывший в ab, делается 4 в cd и так далее, деля эту высоту последовательно пополам каковое деление дает бесконечное уменьшение высоты, и, следовательно, оно должно было бы вызывать бесконечное умножение веса для сторон этой высоты" (Аr. 9 v.).

На следующей странице рассматривается более общий и сложный случай, когда высота не делится пополам:

"Груз, подвешенный в середине горизонтальной нити, образующей над собой угол. Пусть будет проведена прямая линия, своими концами упирающаяся в точку укрепления этой нити; итак, ты образуешь треугольник, высота которого будет находиться в таком отношении со своей стороной, в какой находится средний вес с весом, который чувствует точка укрепления этой нити.

"Так как высота fD (рис. 151) треугольника bcD равна 7/8 своей стороны, то часть веса 1, поддерживаемого нитями, которую чувствуют две нити, будет 9/8 и 1/7 этой восьмой Имеется в виду 8/7, что правильно, и следующая высота равна 6/8 своей стороны, т. е. ?, величина d, связанная с нитью, будет равна ? части веса, которую чувствуют обе нити. И 3-я высота равна 5/8 своей стороны, и опять вес стороны будет 8/5 веса высоты. И 4-я высота равна половине своей стороны, и вес стороны будет наполовину больше, чем вес высоты. И так постепенно можно до бесконечности делить эту высоту, и также бесконечным сделался бы вес, который бы прибавлялся к нитям, поддерживающим эту величину, если бы только они не порвались" (Аr. 10 r.).

В обеих вышеприведенных записях мы видим неоспоримые .доказательства того, что Леонардо вполне овладел новым, упрощенным способом определения натяжения нити при равных углах с вертикалью. Следующая страница показывает, как от первого, более сложного способа, выведенного экспериментальным путем, он подошел ко второму, упрощенному способу. По-видимому, он просто произвел ряд подсчетов по первому способу и затем подогнал формулу, дающую второй способ:

"Здесь (рис. 152) доказывается, что отношение между высотой и ее стороной то же, каково оно между высотой высоты и весом, который эта высота передает своим двум сторонам.

"То, что выше сказано, доказывается следующим образом. Так как от линии bс отрезается 1/4 в bh, в he от нее остается ?. Из этого следует, что эти ? находятся в таком отношении со своим целым bс, в какой высота находится со своей стороной. Итак, сторона подобна всему перпендикуляру bс. Но то, что до сего сказано, еще не является доказательством. Доказывается же это при помощи весов fh и fe. Из этого следует, что 3 в h сопротивляется 2 в е и, следовательно, весы находятся в том we отношении, в каком были между собой плечи весов, т. е. 2/3. Теперь, так как bт равно 4, а мы в этом втором примере приняли его равным 3 против 2 подвеса ci, то теперь в т мы имеем 3, а в i — 2, и это 2 есть 2/3, что соответствует пропорции плеч этих весов. Итак, в i имеем 2/3 веса т, равного 3. В этом примере применен вес, относящийся только к одной стороне, т. е. 2 и столько же нагружается на противоположную сторону, что дает 4; итак, мы сделали, что вес т, равный 3, есть ? веса который чувствует обе стороны, и это сравнивается с первым, где высота была 3/4 одной из двух сторон.

"Полуокружность fhc строится на стороне fc только для того, чтобы найти внутри угол fec, который получается из соединения под прямым углом рычага fe и его подвеса еb (Аr. 10 v.).

Но, не удовлетворившись и этим сведением второго способа к первому, Леонардо на следующей странице дает еще один вариант такого сведения:

"Здесь (рис. 153) высота be есть 7 и сторона се есть 8. Следовательно, вес высоты, равный 7-ми, чувствуется как 8 своими двумя сторонами, из которых 4 приходится на каждую сторону. Следует второе доказательство.

tab — противорычаг есть 4/7 an - рычага. Следовательно, 4 сопротивления в n противодействует 7 опускания в b. И вот второе доказательство подтверждает верность первого, т. е. каждое из доказательств показывает, что сторона ее чувствует 4 в с из 7 поддерживаемых углом соединения обеих сторон ae и се.

´"В этом расположении нитей 7 (единиц) веса, помещенные в е, рождают единицу приобретаемого веса в двух сторонах" (Аr. 11 r.).

И эта запись, как предыдущая, показывает, что более простой способ дает численно такой же результат, как способ более сложный. Следовательно, если на нескольких примерах доказана идентичность результатов, получаемых обоими способами (а правильность результатов первого, более сложного опыта доказана), то, значит, и более простой способ будет давать всегда правильные результаты.

Добившись полного усвоения способа определения натяжения нити с грузом, образующей равные углы с вертикалью, Леонардо не останавливается и на этом, а пытается применить тот же способ и для значительно более сложного случая неравных углов.

"Здесь (рис. 154) по пятой 7-го вес, приходящийся на нить аb, уменьшается на половину своего веса, как доказывает линия hb на расстоянии ai. Из этого следует, что вес 6 превращается в 3 в b, и так как рычаг af есть 3/5 своего противорычага, из этого следует обратная пропорция, т. е. что вес b, привешенный к противорычагу nа, превращается в 3 и вес рычага делается в 5 в f. Следовательно, 6 главного веса d чувствуется нитью cb как 5.

"Тяжесть 6 в d, которая по положению b превратилась в 3, чувствуется нитью be как 2 и 1/4, так как наклонность ее занимает расстояние mb, которое равно 3/4 cb. Теперь, так как рычаг cg есть3/7 cs своего противорычага, вес s будет 3/7 веса, который чувствует g. Так как вес b из 3 превратился в 2 и 1/4 по отношению к нити cb, мы скажем, что 2 и 1/4 увеличивается по отношению к нити ab и в ней появляется сила (р), которая сопротивляется весу, от которого эти 2 и ? составляют 3/7, т. е. весу в 5 и ?. И вот вес 6, привешенный в b, превращается в своих двух опорах в 10 и ? Издатели Cod. Ar. почему-то считают, что здесь имеет место ошибка и поставлено 10 1/2 вместо правильных 10 1/2 , однако 5 + 5, дает 10 ?, так что никакой ошибки здесь, по-видимому, нет. И, если бы эти опоры ab и ас имели свои концы с и а (в оригинале ошибочно d) на равной высоте, то 6 в d превратилось бы в 36, так как высота eb помещается 6 раз в своей стороне ab" (Аr. 12 r.).

Все это довольно сложное рассуждение показывает, что Леонардо запутался в своих доводах и, применяя совершенно правильные отдельные положения и приемы, пришел к совершенно неправильному результату. Ошибка его заключается в том, что за несколько страниц до этого он, рассматривая во вспомогательном построении нить с концами, укрепленными на разных высотах, конечный вывод делает для нити с концами,. укрепленными на одной высоте. В данном же случае, встречаясь с нитью, концы которой укреплены на разных высотах, он применяет не тот способ расчета, как для нити с концами на равной высоте, а значительно более усложненный. Он считает, что натяжение ветви нити равно не всему грузу, помноженному на отношение перпендикуляра, опущенного из конца противоположной ветви на вертикаль, к перпендикуляру на продолжение данной нити, а части этого груза, причем эти части он определяет следующим образом. Правую часть он получает из отношения, т. е. из предположения, что часть груза, нагружающая конец ветви, так относится ко всему грузу, как длина перпендикуляра, опущенного из точки укрепления этой ветви на вертикаль, относится к длине этой ветви. Левую же часть он получает, полагая, что естественная часть груза при опускании конца нити будет испытывать изменение "по положению". Таким образом, Леонардо дважды учитывает углы, образуемые нитью с вертикалью. Из приведенного несомненно, что, желая подойти к более простому способу вычисления того случая, который он выше разбирал сложным способом совершенно правильно, Леонардо запутывается и попадает на путь не только еще более сложный, но и дающий неправильный результат Совершенно непонятно, как Марколонго в неоднократно цитированной нами работе, приводя разобранное выше место, характеризует его как .

После листа 12, содержащего вышеразобранную запись, цельный кусок "Кодекса Арундель" обрывается и начинается обычная в леопардовых кодексах смесь. В ней к концу кодекса опять имеется несколько весьма интересных записей, относящихся к нашей теме. Однако, до их рассмотрения, мы должны упомянуть еще о ряде более или менее поздних записей других кодексов, которые повторяют, иногда несколько дополняя их, высказывания отдельных частей "Кодекса Арундель". Особенно много таких записей мы находим в кодексе "Е" — одном из позднейших в наследии Леонардо. Замечательно здесь то, что наряду с разными вариантами правильных решений, казалось бы, твердо усвоенных, изредка встречаются и попытки вернуться к уже ранее отброшенным неправильным решениям. Очевидно, полной уверенности в том, что найденные методы являются единственно правильными, у Леонардо не было.

Из записей кодекса "Е" мы приведем только одну, показывающую, что Леонардо, как он это обычно делал, добившись более или менее совершенного разрешения того или иного вопроса возвращается к той его постановке, с которой он начал свою работу. Мы видели, что в части наиболее ранних записей он пытался разрешить вопрос о провесе ненагруженной нити. К этому же вопросу он возвращается в конце кодекса "Е" применяя способ, найденный для определения натяжения нагруженной нити.

"Доказатальство веса, который имеет изогнутая нить.

"Нить, искривленная при том, что концы ее укреплены на одной горизонтали, всегда описывает часть окружности, и центр ее тяжести будет всегда находиться в середине ее вещества (quantita).

"Линия потенциального (рычага?), которую имеет вес всей изогнутой нити, пряма и имеет начало в начале дуги в месте, в котором окружность отделяется от прямой линии, касательной к ней, а для того чтобы найти это начало, обратись к нижней фигуре (рис. 155) и заметь дугу нити abc, которая является частью окружности круга. По седьмой этой найди центр всей окружности, каковой и будет h, и из этого центра проведи прямую ha и будешь иметь полудиаметр этого круга, в конце которого проведешь перпендикуляр an´, таким же образом ты поступишь с противоположным концом названной нити в линии се и к ней построишь перпендикуляр еа, который и будет реальным рычагом по отношению к реальному противорычагу, к каковому присоединен подвес веса dl.

"Все те (части) фигуры, которые имеют двойные линии, должны пониматься как реальные члены, а те, которые имеют только простые линии, понимаются как потенциальные линии, и среди многих фигур есть (части) простые потенциальные, и простые реальные, и составные из реальных и потенциальных" (Е. 62 r.)

В приведенной записи Леонардо уже не старается выяснить форму провеса нити, как он это делал вначале, а занимается проблемой натяжения ветвей нити под действием ее собственного веса, вытекающей из всех его работ позднего периода. При этом он принимает, что весь вес нити сосредоточен в середине ее провеса и что ветви ее, примерно, прямолинейны и сходятся к точке, в которой помещен этот вес. Это и сводит данную задачу к задаче натяжения ветвей нити с подвешенным грузом, а она, как мы видели выше, легко разрешается Леонардо. Однако предположения Леонардо, что нить провисает по дуге окружности, что ветви нити могут быть приняты прямолинейными и что натяжение вследствие этого равно на всем протяжении данной ветви, неправильны. Фактически нить провисает по цепной линии, и натяжение каждой ее ветви изменяется обратно пропорционально глубине провеса. Это обстоятельство делает неправильной формулу Леонардо, которая может быть расшифрована, где s — натяжение ветви, I — пролет (ее) и а — угол hca. Но, тем не менее, формула эта весьма замечательна, ибо она представляет первую попытку действительно научного разбора столь сложного вопроса, как провес нити под действием собственного веса.

Если последняя из рассмотренных записей показывает, что Леонардо, углубляясь в сравнительно абстрактные вопросы отнюдь не забывает тех исходных положений, которые побудили его этими вопросами заниматься, то несколько страниц "Кодекса Арундель" демонстрируют то же самое с еще большей убедительностью. Действительно, мы нашли, что поводом, давшим толчок леопардовым занятиям над прогибом нити и натяжением ее концов, послужили работы его над конструированием сводов и арок. Именно с этих работ, связанных со строительными занятиями молодого инженера, начались механические штудии его — попытки определить (как он писал жюри конкурса на тамбур Миланского собора):

"Какова природа тяжести и каково стремление тяжести и, каким образом, тяжести должны быть сплетены, связаны вместе и соединены и какие действия рождают".

Легко могло случиться, что, поставив перед собой столь сложную задачу и погрузившись во все более абстрактные способы ее разрешения, Леонардо оторвался бы от той практической исходной цели, которая поставила перед ним эту задачу. Чтение ряда записей, приведенных нами выше, как будто подтверждает справедливость этого предположения. Однако записи конца "Кодекса Арундель" совершенно опровергают его. Леонардо был слишком техником. Даже погружаясь в наиболее отвлеченные рассуждения, он никогда не забывал о начальном импульсе своих теоретических исследований и, достигнув известной теоретической высоты, немедленно возвращался к технической проблеме. На листе 116 "Кодекса Арундель" мы находим следующую замечательную запись:

"Соединение рычага со своим противорычагом всегда бывает прямоугольным.

"При подсчетах сил в машинах (potenzie machinali) принимаются во внимание вес и положение не их материальных членов (membrificazioni material!), а только их потенциальных, т е. математических линий.

"Я хочу знать, какую свою часть отдает весомое тело своим опорам, т. е. mg и nb (рис. 156). Я построю два потенциальных рычага bс и gr, которые будут находиться в прямоугольном, соединении с bn и mg в точках b и g. Затем проведу прямую bg из b в g и в середине ее опущу перпендикуляр fn из-под центра весомого тела а и, таким образом, получу прямой угол bfn в точке f. Кроме этого, проведу подвес cd, под прямым углом соединяющийся с рычагом be, и так получу рычаг be с подвесом cd против потенциального противорычага bf с его подвесом fn. Если же противник утверждал бы, что этот противорычаг не потенциален, но реален, т. е. противорычаг bn, то ему можно ответить при помощи 10-й этой работы, где говорится, что все подвесы, направленные к центру мира, соединяются под прямым углом и плечами весов, находящихся в положении равновесия, и по вышеприведенному первому положению, что всякое соединение между подвесом и плечом рычага прямоугольно, что не может быть осуществлено, если по утверждению противника n будет соединено с подвесом fn. А, следовательно, прямой угол bfn соответствует нашему требованию и т. д.

"Здесь подсчитываются математические силы (р), а не реальные веса, т. е. веса членов механизмов (membre de li strumenti).

"Подсчет. В той же пропорции, в которой находится •потенциальный рычаг be с реальным противорычагом bf, будет находиться и сила угла с сопротивлением угла. Следовательно, так как силы обратны, то be, будучи вдвое меньше bn, будет иметь двойную силу для поддержания bn.

"Сила (р), изображенная здесь (рис. 157), похожа на изображенную выше, но первая учитывает вес, который поддерживает нить abc благодаря весомому телу s, т. е. естественный вес, называемый тяжестью, и приобретаемый вес, называемый силой, и научает отделять тяжесть от силы. И эта операция производится для нитей abc под горизонтальной линией ode. Но выше принимаются во внимание вес и сила, которые отдает весомое тело а или же nт над горизонтальной линией bfg, соединяющей обе балки bn и mg, поддерживающие эти весомые тела т и n.

"Рычаг и потенциальный подвес ае и eb всегда будут иметь прямоугольное соединение в точке е (и потенциальный подвес) всегда будет иметь одно направление с реальным подвесом bc, т. е. если продолжать реальную нить bc прямо, то она встретит потенциальный рычаг ае в точке е под прямым углом, а потенциальный противорычаг рычага ае будет находиться на линяя ad, кончающейся (полу)реальным подвесом db над реальный подвесом bs.

"Подсчет. В той же пропорции, в которой находится рычаг ае с противорычагом ad, находится сила с весом, но она обратна, так как противорычаг вдвое больше рычага. Следовательно, подсчет половины веса будет найден при подсчете потенциального рычага и противорычага ае и ad; подвесы ec и dc полуреальны, как это видно здесь" (Аr. 116 v.).

Из этой записи, весьма пространной и более чем ясной, после всего, что нами разобрано выше, можно заключить, что Леонардо рассматривает давление свода на опоры. Он поступает при этом точно так же, как при разборе натяжения концов нити, провисающей под действием собственного веса: он рассматривает вес всего свода сосредоточенным в наивысшей его точке — замке, который и изображен на чертеже; обе, же опоры он считает прямолинейными и невесомыми. Сделав такие, неправильные по существу предположения, он вполне закономерно заключает, что свод есть, собственно говоря, не что иное, как перевернутый канат, провисающий под действием подвешенного в середине его веса, и применяет найденный им вполне правильный способ определения нагрузки на концы нити, что в данном случае дает нагрузки на опоры свода. При этом, для наглядности, он, переворачивая привычный чертеж прогнутой нити, строит свои потенциальные рычаги и подвесы не на продолжениях ветвей, т. е. над ними, а на параллельных им линиях под ними, что дает, конечно, тот же результат. Таким образом, и для определения нагрузки на опоры свода арки Леонардо применяет формулу, где Q — общий вес арки. Формула эта неправильна для полной нагрузки, но дает практически приемлемый результат, так как вертикальная составляющая давления, практически интересующая Леонардо, где Р — вес на единицу длины, а I — пролет. Пролет I несколько меньше длины арки, почему Рl будет меньше Q; но так как cos ?<1, то полученная Леонардо величина Давления на опору будет практически приемлемой, ибо она превышает, и притом не очень значительно, действительное давление. Опоры, которые Леонардо, может быть, строил по своей формуле, должны были надежно поддерживать возведенные на них арки и своды То же рассуждение, что на листе 116 v., Леонардо повторяет с некоторыми вариантами, не вносящими, впрочем, ничего существенно нового, на листе 118 r. и с.

Подробно рассмотренная история работы Леонардо над проблемой натяжения нити, подвешенной на двух опорах может быть еще полнее и нагляднее рисует его творческий путь и применяющиеся им методы, чем ранее рассмотренная проблема равновесия на наклонной плоскости. Мы видим здесь, как Леонардо ставит проблему под давлением правильно и исключительно глубоко почувствованного им запроса техники и разрешает ее сначала простейшими, имеющимися в его распоряжении средствами, сводя ее к прямолинейному рычагу. Убедившись, однако, в незаконности такого сведения, он начинает тщательно экспериментировать и, на основании отдельных экспериментов или групп экспериментов, составляет пропорцию, более или менее точно связывающую между собой результаты этих экспериментов. Так, он высказывает предположение, что нагрузки ветвей нити пропорциональны их длинам или же расстояниям их концов до вертикали. Но, составив пропорцию, охватывающую более или менее удовлетворительно результаты данной группы экспериментов, Леонардо затем проверяет ее на ряде других экспериментов и обнаруживает, что она неправильна, что здесь необходим более тонкий подход. В поисках такого подхода он пробует ввести в пропорцию количество нити, сходящей со шкива, но и эта попытка оказывается неудачной. Тогда он от экспериментирования на нити, подвешенной за оба конца на шкивах, оси которых находятся на равной высоте, переходит к экспериментированию с нитью, один конец которой укреплен на неподвижном шкиве, а другой — на подвижном, причем между ветвями нити угол всегда остается прямым. Результат оказывается правильным, выдерживающим проверку любого числа экспериментов. Это и наводит, очевидно, Леонардо на мысль о том, что решающее значение в данной проблеме имеет угол, образуемый ветвями нити. Дальнейшее экспериментирование показывает, что с увеличением этого угла увеличивается натяжение ветвей нити; это, однако, еще не решает вопроса о натяжении каждой ветви, правильный путь к определению которого находится только тогда, когда Леонардо вводит принятые им при разборе равновесия коленчатого рычага понятия потенциальных плеч. Первое решение, даваемое им на этой основе, опять оказывается неправильным: отношение длин ветвей к длинам перпендикуляров на продолжение противоположных ветвей не определяет распределения натяжений. Но после нескольких наблюдений находится, наконец, правильное и вполне общее решение: натяжение каждой ветви равно весу подвешенного к нити груза, помноженному на частное от деления расстояния точки подвеса противоположной нити до вертикали на длину перпендикуляра из той же точки подвеса на продолжение данной нити. Решение это оказывается правильным при всех вариантах и экспериментах, но оно кажется Лео- нардо, и не без основания, слишком сложным. Поэтому он, оперируя с уже вполне надежными данными, полученными из него, формулирует более простую зависимость: сумма натяжения обеих нитей равна весу груза, умноженному на частное от деления длины нити на глубину прогиба.

Но, добившись, в результате многолетних усилий, правильного решения когда-то поставленной им задачи, Леонардо не забывает об исходной точке своих поисков. Он сразу обращается к технической проблеме, которая поставила перед ним эту задачу. Он пытается применить свое решение к определению Нагрузки на опоры свода и получает результат, хотя теоретически и неправильный, но практически применимый.

На этом примере мы видим, что метод научной работы, который прокламировал Леонардо, в точности применялся им на практике. Он ставит задачу, выдвигаемую техникой, подходит к разрешению ее через ряд экспериментов, на результатах их строит закон, проверяет его опять на эксперименте, находит ошибки, строит новый закон и, найдя его правильным, применяет его на технических объектах. Научное творчество Леонардо вырастает из запросов техники, оно органически связано с экспериментом. В этом его основное отличие от его предшественников, в атом его сила и прогрессивная ценность.

 

Гуковский М.А. Механика Леонардо да Винчи, 1947

Из мира познавательного