Леонардо да Винчи (1452 - 1519) БИОГРАФИЯ и ТВОРЧЕСТВО

«Эта книга станет справочником. Она сложилась из множества страниц, которые я в неё вписал, надеясь впоследствии привести все в порядок ... и поэтому, о Читатель, не проклинай меня за то, что интересующих меня предметов слишком много, ...» Leonardo


Top Art
Украинский портАл
Яндекс.Метрика

Поиск по сайту

changemoney.me

Теория рычага. Вес и рычаг. Механика Леонардо

Рейтинг пользователей: / 3
ХудшийЛучший 
Часть четвертая. МЕХАНИКА ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ - Глава 3. ВЕС И РЫЧАГ

§ 1. Теория рычага

В процессе подведения серьезной научной базы под свою обширную и разностороннюю техническую деятельность, отвечавшую насущнейшим запросам бурной эпохи итальянского Возрождения, Леонардо да Винчи пришлось вплотную подойти к изучению законов движения; они под его руками, сохраняя свою роль фундамента всего механического здания, приобретают совершенно новый и несравненно более конкретный характер, чем в трудах его предшественников. Естественно, значительно более углубленно и внимательно он должен был заняться тем, что мы в предыдущем изложении условно называли конкретной механикой: большая часть задач, которые ставила перед инженерами XV в. строительная техника (а ею они занимались в первую очередь), относилась к статике, к области которой относится и почти вся конкретная механика античности и феодализма. Естественно поэтому, что, занимаясь в числе прочих отраслей, так же, как его товарищи по техническому искусству, строительной техникой, Леонардо начинает с раннего миланского периода своей научной деятельности упорно и по- стоянно работать над статическими (по нашей терминологии) проблемами конкретной механики. Уже Витрувий, являвшийся, как мы отмечали, одним из кумиров Возрождения, а за ним Леон Баттиста Альберти пытались, хотя и довольно элементарно и неудачно, применять отдельные положения конкретной механики к проблемам строительной техники. При этом, если Витрувий придавал теории значение только контролирующей, проверочной инстанции, Альберти — сын века, в котором техника развивается значительно более интенсивно и играет вообще значительно большую роль, привлекает ее уже в качестве непосредственного помощника, в качестве органической составной части самой технической работы.

Но, привлекая конкретную механику на помощь технике, в первую очередь строительной, Альберти еще очень беспомощен в обращении с нею. Она не является в его руках сколько-нибудь действенным оружием, хотя он и стремится сделать ее таковым. Леонардо в этом отношении, как и в ряде других, идет по пути, намеченному Альберти, но идет гораздо дальше и решительнее. Приведенная выше его объяснительная записка к модели купола Миланского собора говорит о том, что для него наука, и в частности именно конкретная механика, становится уже действительно основой технической деятельности, стоящей на надлежащей качественной высоте. Естественно поэтому, что он принялся за освоение и переработку богатого научного наследия в области конкретной механики с целью приспособления его к нуждам техники.

Основой, центром всей конкретной механики до Леонардо было учение о весах или рычаге первого рода, распространяемое далее и на рычаг второго рода. Учение это во всех механических работах, от "Механических проблем" до различных вариантов трактата Иордана Неморария и до писаний Биаджио Пелакани, разрабатывалось с различных точек зрения, но все более углубленно и детально. Естественно поэтому, что Леонардо, обратившись, очевидно, в начале своего пребывания в Милане, к литературе по конкретной механике, для разрешения ряда технических задач, поставленных перед ним его практической Деятельностью, натолкнулся в первую очередь на учение о статике сооружений, разного рода перекрытий, балок и т. п. и, с другой стороны, на технику производства строительных работ — конструкций кранов, блоков,. подъемных приспособлении. Учение о рычаге, привлекавшееся в этой связи, как уже сказано и Витрувием и Альберти, пришлось как нельзя более кстати. Он приступает к его освоению и переоформлению.

Как мы подробно разобрали в первой части настоящей работы, самый закон соотношения между грузами и длинами плеч на весах был сформулирован вполне четко уже в "Механических проблемах" и затем повторялся во всех сочинениях по механике с IV по XV в. н. э. Естественно поэтому, что и Леонардо многократно и в разных выражениях формулирует закон рычага. Так, в начале кодекса "А" он пишет:

"Ту же пропорцию, которая существует между длиной рычага и его противорычага, ты найдешь между величиной их весов и медленностью движения и в величине пути, проходимого каждым из их концов, когда они достигнут постоянной высоты своей точки опоры" (А. 45 r.).

Или еще более элементарно:

"О природе рычага. Столько же делают 10 фунтов на конце рычага, сколько 20 в середине и сколько 40 в четверти" (А. 35 v.) (рис. 73).

Однако, как нам известно, центр значительной части работ по конкретной механике лежал не в формулировке закона рычага, подсказывавшейся элементарным наблюдением, а в доказательстве этого закона, его теоретическом обосновании. Мы видели, что, начиная с "Механических проблем", доказательства закона рычага стараются обычно свести к перипатетическому закону естественного движения ("Проблемы", первый вариант трактата Иордана Неморария), причем это сведение производится либо непосредственно, либо при посредстве специально вводимого понятия "gravitas secundum situm"; реже доказательства сводятся к перипатетическому закону движения приобретаемого ("Книга Карастуна", третий, а частично я второй варианты трактата Иордана); наконец, их сводят к нескольким основным аксиомам, определяющим понятие центра тяжести (Архимед). При этом во всех случаях между основным законом или группой аксиом, к которым сводится закон рычага, я самим законом рычага выстраивалась цепь более или менее стройных и сложных доказательств — геометрических у Архимеда, алгебраических у Табита, смешанных у Иордана. Как же подходит к этому вопросу Леонардо?

Как обычно, он начинает с того, что проверяет закон весов, в правильности которого, впрочем, он вряд ли сколько-нибудь серьезно сомневался. Так, в записи относящейся к одному частному вопросу теории весов, он пишет:

"Помести завтра два твои крайних груза во всех известных тебе пропорциях и следи за более тяжелым средним (?) грузом, как он меняет положение вследствие изменения своей тяжести и на основании всего этого выведи закон" (С. А. 238 r. а.).

То, что эти опыты не только намечались, но и действительно производились, с несомненностью подтверждает следующая ранняя (судя по почерку) запись "Атлантического кодекса":

"Та часть стержня будет легче двигаться, которая расположена дальше от места своего укрепления. И насколько будет легче движение части, более удаленной от места укрепления стержня, настолько должно быть более крепким (grieve) сопротивление в этом месте укрепления (рис. 74).

"Необходимо, чтобы единица, находясь на равном расстоянии от другой единицы, уравновешивала ее.

"Здесь одно расстояние против двух имеет два веса против одного.

"Четыре расстояния против одного требуют одного веса против четырех.

"Восемь расстояний против одного требуют одного веса против восьми".

Точно так же с поразительными терпением и настойчивостью Леонардо продолжает записи и зарисовки вплоть до 121 делений, заканчивая так:

"И если ты должен подвесить 128 весов против одного (рис 75), навесь его на расстояние единицы против 128.

"Здесь 255 составляют противовес 128 восьми на весах, грузы которых собраны из грузов 8 весов, изображенных здесь рядом" (С. А. 86 v. b.).

Приведенная выше запись является, конечно, просто фиксацией систематически проведенной серии опытов и с этой точки зрения чрезвычайно интересна. Последняя зарисовка и соответствующий текст отражают попытку свести отдельные частные наблюдения в общий закон — regola generale, что, впрочем, сделано довольно неуклюже и неудачно.

Таким образом, Леонардо, в противоположность всей научной традиции, но в полном согласии с постоянно применяемыми и теоретически обоснованными им методами, выводит закон рычага в первую очередь из серии экспериментов, а не из каких-нибудь Других законов или аксиом. Но мы знаем, что такое формулирование закона на основе серии экспериментов никогда не является в его глазах окончательной стадией работы: за ней должно обязательно следовать приведение разумных обоснований (ragioni), строго научное, с точки зрения Леонардо, доказательство; и действительно, такое доказательство он пытается дать и для закона рычага. При этом Леонардо не останавливается определенно ни на одном из приведенных выше, подсказываемых традицией, трех путей обоснования закона рычага, а в разных записях идет по разным из них. Совершенно естественно, что в более ранних записях, только начиная углубленно заниматься вопросами теоретической механики и находясь, несомненно, под влиянием писаний Иордана Неморария и его школы, Леонардо принимает два перипатетических варианта обоснования: сведение к закону естественного движения через понятие "gravitas secundum situm" или же сведение к закону движения приобретаемого.

Так, в довольно поздней, невидимому, записи "Кодекса Арундель", окончательно редактирующей значительно более раннюю запись "Атлантического кодекса" (С. А. 154 v. а.), мы читаем следующее обоснование закона рычага:

"Всякое весомое тело стремится к середине, и то положение, которое — будет более наклонным, больше сопротивляется ему, и то тело окажется более тяжелым, которое будет иметь более слабое сопротивление, и то сопротивление будет более слабым, которое более удалено от своей точки укрепления. Равные веса окажутся в той же пропорции, как и их сопротивление. Так, m (рис. 76) по весу равно n, и так как его сопротивление вдвое более длинно, чем сопротивление n, то оно также вдвое слабее. Следовательно, т, будучи равно 1, исполняет работу двойную против одного в n, так как его плечо вдвое длиннее, чем плечо n, почему если кто-нибудь поместит в n еще один вес, равный первому, то он будет иметь вдвое больше веса, чем в т, и таким образом весы будут иметь равные силы (р), противоположные вокруг своей точки опоры.

"Во всяком весомом теле имеется разная способность (virtu) к естественному движению и к весу, взятым в одном направлении (?).

"Равные веса, равноотстоящие от центральной линии точки опоры весов, не выведут плечо этих весов из положения равновесия.

"Если к неравным плечам весов подвесить равные веса, то вес, подвешенный на более длинной стороне, будет причиной движения весов.

"Если плечи весов будут находиться в той же пропорции, в какой находятся подвешенные к ним веса, и если на более коротком подвешивается более тяжелый, то эти веса будут одинаково тяжелы по положению (secondo il sito).

"Равенство наклонности определяет одинаковое бытие весов на плечах весов. При неравенстве наклонности плечи, хотя бы они и были разной длины, сопротивляются друг другу в обратной пропорции к длине и наклонности этих плеч.

"Если два веса будут опускаться по двум разным наклонностям и весы и наклонности будут находиться между собой в одной и той же пропорции, то будет найдено, что веса эти имеют при опускании равные скорости.

"Если отношение плеч будет соответствовать отношению данных весов и более тяжелый будет висеть на коротком плече, тогда весы останутся в положении равновесия" (Аr. 76 v.)

Данная запись, как то, впрочем, нелегко заметить при запутанности и замысловатости ее выражений, представляет собой не что иное, как своеобразно переделанное изложение обоснования закона рычага, даваемое первым и отчасти вторым вариантом трактата Иордана Неморария. Действительно, Леонардо рассуждает, примерно, так: как подробно обосновано в учении о весе и естественном движении, то тело легче, которое подпер то, а менее подперто то тело на весах, которое более удалено от точки опоры; следовательно, тело, расположенное дальше от точки опоры, более тяжело "по положению", чем и доказывается закон рычага. То, казалось бы, голословное утверждение, что менее подперто то тело, которое более удалено от точки опоры, опять-таки обосновывается понятием "gravitas secundum situm". Действительно, тело, более удаленное от точки опоры, опускается по более наклонной кривой, а тело, опускающееся по более наклонной кривой, менее подперто и весит больше.

Легко заметить, что кратко приведенное и повторяющееся в ряде других записей обоснование закона рычага Леонардо в смысле строгости и формальной стройности стоит далеко позади своего прототипа — соответствующих доказательств первого и второго вариантов трактата "De ponderibus". Вместо формулировки основного закона естественного движения и понятия "gravitas secundum situm", увеличивающегося вместе с увеличением кривизны, и четкого сведения к этим двум основам всего дальнейшего, мы видим у Леонардо довольно неясную и запутанную аргументацию, в которой доводы от разницы опор весьма нечетко переплетаются с доводами от разницы наклона и которая совершенно не может похвастать логической стройностью доказательства. Но, уступая схоластическому доказательству в смысле строгости, обоснование Леонардо несравненно более конкретно физически, в большей степени отражает реальное обращение с реальным рычагом, чем кабинетные рассуждения трактата "De ponderibus".

В приведенном выше обосновании, в центре рассуждения, как и у Иордана, стоит понятие "веса по положению" — "gravitas secundum situm", которое Леонардо обозначает иногда этим же термином, а иногда термином "peso accidentale" — "приобретаемый вес", несомненно синонимичным первому термину и строящимся Леонардо, очевидно, в параллель к термину "приобретаемое движение", противоположное естественному. Уже разбирая обоснование закона рычага у Иордана, мы отметили искусственность этого понятия, его физическую неопределенность. Естественно, что реально и физически мыслящий Леонардо чувствовал эту абстрактность принимаемого понятия и, не находя возможным полностью отказаться от него, пытался уразуметь, наглядно прощупать его физическую сущность.

Так в поздней записи кодекса "Е" он пишет

"О движении. Вес растет настолько, насколько а (рис. 77) поднимается к с. То же отношение, которое существует между расстоянием тn и расстоянием nb, имеет вес, опустившийся в d, с весом, который это d имело в положении b, а из этого следует, что если тn есть 9/10 nb, то вес, опустившийся в d, есть 9/10 веса, который он имел в месте b" (Е. 72 v.).

Если мы вспомним предисловие к перипатетическому варианту трактата Иордана, то легко обнаружим, что приведенная выше запись есть именно попытка наглядно представить себе просто постулируемую и численно не выражаемую Иорданом зависимость между весом, кривизной и длиной дуги, по которой груз движется. При этом Леонардо, хотя и не вполне четко, сводит эту зависимость к расстоянию груза до вертикали, проходящей через точку опоры, чего отнюдь не делали трактаты "De ponderibus" и что он, как мы увидим ниже, широко применяет при разборе коленчатого рычага.

Такую же попытку разобраться в физическом смысле понятия "приобретаемого веса" или "веса по положению" представляет, по-видимому, и другая запись того же кодекса:

"О двигателе или движимом. Сила двигателя всегда больше, чем сопротивление движимого.

"О рычаге и противорычаге. Настолько прибавляется приобретаемый вес двигателю, помещенному в конце рычага, насколько движимое, помещенное на конце противорычага, превосходит его естественным весом.

"И настолько больше будет движение двигателя, по сравнению с движением движимого, насколько приобретенный вес этого двигателя превосходит его естественный вес.

"Доказывается это так: пусть движение двигателя (рис. 78) будет из b в d и движение движимого из а в с; я утверждаю, что движение bd будет настолько больше движения ас, насколько приобретаемый вес b превосходит вес d; превосходит же он его на один, а, следовательно, также естественный вес..." (Е. 58 v.)

„И в этом, впрочем неоконченном, отрывке Леонардо пытается подойти, но не подходит к более наглядному представлению "gravitas secundum situm". He приближая нас к этой цели, приведенная запись подводит, однако, ко второму способу обоснования закона рычага, применявшемуся Леонардо значительно ранее, чем первый.

Этот способ состоит, как мы уже говорили выше, в сведении закона рычага к перипатетическому закону приобретаемого движения, самая формулировка которого уже может служить формулировкой закона рычага. Так, на листе 202 v. b. "Атлантического кодекса" Леонардо прямо записывает перипатетический закон приобретаемого движения и применяет; его именно к случаю рычага.

"Если какая-нибудь сила движет тело на определенное расстояние в определенное время, то та же сила будет двигать половину этого тела на то же расстояние в половину того же времени или в то же время на два таких же расстояния" (рис. 79).

Однако такое рассмотрение весов обычного типа не вполне удовлетворяет Леонардо, и он продолжает:

"Этот опыт не годится (questa sperienzia non serve), так как в каждую частицу движения эти весы приобретают частицы медленности".

Дальше он разбирает "круговые весы", т. е. систему шкивов равного диаметра, в которых отпадает это возражение, не вполне нам, впрочем, понятное.

Другой пример сведения закона рычага к закону приобретаемого движения дает нам следующую запись:

"Если а=2 двигает b в f (рис. 80), опускаясь в с, то 4, опускаясь в d, будет двигать b=2 дважды расстояние bf, и, следовательно, оно пойдет в g (Ar. 63 v.).

Из приведенных записей более или менее ясно, что Леонардо, склоняясь к обоснованию закона рычага, принятому первым вариантом трактата Иордана, не отказывался, однако, совершенно от обоснования, принятого "Книгой Карастуна" и третьим вариантом трактата Иopдана. Но принимая тот пли иной путь обоснования, он безразлично выпускал геометрическую или алгебраическую сущность самого доказательства и прямо от экспериментальной констатации переходил к общему закону, который эту констатацию объясняет и научно обосновывает. Вся сложная и замысловатая сеть построений, аргументации, приведений к абсурду, ссылок на Евклида и Архимеда, которая составляла святая святых всех сочинений по конкретной механике, начиная с "Механических проблем" и до работ школы "De ponderibus", совершенно исчезает в рассуждениях Леонардо. Она заменяется у него совсем другим — экспериментом рядом с результатами которого хитроумные мудрствования схоластической теории неизбежно казались бледными и ненужными. Сложное математическое обоснование закона, ясно обнаруживаемого опытом, казалось Леонардо излишним. Да к тому же его мало склонный к отвлеченности ум художника и техника плохо справлялся с нелегкой и требующей значительной привычки к отвлеченному мышлению аргументацией трактатов Архимеда или третьего варианта трактата Иордана. Естественно может возникнуть вопрос: что же тогда Леонардо, отбрасывающий как раз математическое доказательство в законе рычага понимал под математикой, без участия которой он, как мы отмечали выше, считал недостоверным всякое знание? Ответ на этот вопрос не сложен и в общей форме дан нами уже выше (см. стр. 431). Под математикой Леонардо в первую очередь понимал возможность числовой проверки того или иного утверждения, математической же формулировкой считал исключительно формулировку, устанавливающую численную зависимость между несколькими величинами, причем зависимость эта в большинстве случаев имела форму простой пропорции, представлявшей для Леонардо, как и для всего Возрождения, наиболее совершенную форму математического соотношения. Метод же доказательства при помощи математики был решительно чужд Леонардо, с чем тесно связаны и сильные и слабые стороны его механики. Конкретная, практически направленная как им одна из предшествующих систем, она зато, так же как ни одна из них, произвольно и необоснованно возводила результаты конкретных наблюдений к общим положениям и законам, остающимся незыблемыми в своих старых формах именно вследствие произвольности этой связи.

Однако не только подробный разбор и экспериментальное подтверждение законов естественного и приобретаемого движения подводили Леонардо, как и его предшественников, к обоснованию закона рычага. К нему подводили, как мы уже мимоходом отмечали (см. стр. 486), и его значительно более оригинальные и свежие рассуждения о центре тяжести тела (естественном центре тяжести) и особенно о центре тяжести системы (приобретаемом центре тяжести). Действительно, рассмотрение поведения тела сферической формы, центр тяжести косого подперт, приводило Леонардо к заключению о том, что такое тело не будет иметь никакого движения: обе его части по сторонам от точки опоры будут иметь равный вес и, следовательно, не будут вызывать никакого движения. Это представление о невозможности движения там, где не приложена сила или нет разности весов, и о необходимости движения там, где то или другое имеет место, опять-таки приводит Леонардо вплотную к закону рычага. Если мы приведем полностью запись против вечного движения, начало которой мы цитировали выше, то сразу же увидим, как рассуждение о возможности и невозможности движения в зависимости от разности весов или сил приводит его к закону рычага. Вот эта полная запись:

"Против вечного движения. Ни одна неодушевленная вещь не будет двигаться сама по себе; если же она двинется, то, будучи движима неравной силой, т. е. в неравное время и при неравном движении или при неравном весе. Когда же стремление (desiderio) первого двигателя прекращается, то немедленно же прекратится и второе.

"О движении. Например, если ты увидишь, что вес b подымает вес а, при том, что плечи весов равны, то необходимо, чтобы b было более тяжелым, чем а. Если бы ты захотел, чтобы вес d подымал вес с более тяжелый, чем он, то необходимо, чтобы он проходил больший путь при своем опускании, чем его проходит с при своем подъеме. Если же он опускается больше, то необходимо, чтобы плечо весов, опускающееся вместе с ним, было длиннее другого. И если бы ты захотел, чтобы малый вес f поднял большой, то необходимо, чтобы f производил более длинное и более быстрое движение по сравнению с весом с" (А. 22 v.).

В этой записи, отражающей еще раннюю стадию механических штудий Леонардо, мы видим смешение доводов, опирающихся на закон приобретаемого движения и на неясное представление о центре тяжести и его роли в системе весомых тел.

В более поздней записи "Кодекса Арундель", обнаруживающей уже несомненное и при этом довольно глубокое знакомство с архимедовыми плоскими фигурами, Леонардо решительно ставит закон рычага в связь с понятием центра тяжести. Запись эта, довольно длинная и сложная, гласит так:

"В каждых двух равных треугольниках центр тяжести наводится в середине линии, выходящей из центра одного треугольника и кончающейся в центре другого треугольника. Пусть мы имеем два треугольника аbс и def (рис. 81). Центр abc пусть будет g, центр def пусть будет h. Теперь проводится линия от центра g в центр h; пусть это будет линия gh, каковую раздели поровну в точке k. Я утверждаю, что если они будут одинаково весить (peseranno), то они будут и одинаково тяжелы (poseranno), будучи равными. Так как линия gh, выходящая из их центров, разделена поровну в точке k, то такое же отношение существует между gk и kh, какое существует между одним треугольником и другим.

И, следовательно, k есть центр тяжести двух треугольников, потому что он находится между ними в том же отношении, в каком находятся их расстояния от точки и оси (bilico) их весов g и h, подвешенной к точке опоры k, по первой первого архимедовых "De ponderibus".

"Если два неравных треугольника будут одинаково весить на неравных расстояниях, то больший будет находиться на меньшем, а меньший — на большем расстоянии (рис. 82). Ты имеешь два треугольника abc и def. Первый меньше (в оригинале ошибочно сказано — больше), и центр его находится в g, а центр большего (в оригинале — меньшего) треугольника есть h. Теперь проведи линию из g в h и будешь иметь на этой линии центр тяжести двух треугольников в точке k, и на ее концах будут подвешены оба треугольника, отношение между которыми таково, каково оно между противоположными расстояниями, которые они имеют от точки k их оси. Так как треугольник abc есть ? треугольника def и расстояние kh есть ? расстояния gk, и так как эти треугольники не равны, то обратная пропорция, которая существует между ними и их расстояниями от точки опоры рычага, заставляет их быть одинаково тяжелыми (ponderare). Так как расстояние gk равно 4 и расстояние kh равно 3, то и треугольник def равен 4 и треугольник abc равен 3.

"Равные количества, расположенные на равных расстояниях, будут равно тяжелы, и если равные количества будут одинаково тяжелы, то они расположены на одинаковых расстояниях. И если неравные количества будут равно тяжелы, то они расположены на неравных расстояниях — большее на меньшем расстоянии и меньшее на большем расстоянии. И если равные количества не будут одинаково тяжелы, то они расположены на неравных расстояниях: то, которое более тяжело, находится на меньшем расстоянии. Если два количества на равных расстояниях будут одинаково тяжелы, то и всякие равные количества, расположенные на этих же расстояниях, будут также одинаково тяжелы. И всякое расстояние на плоскости (spazio piano) имеет центр тяжести на своей поверхности между своими концами" (Аr. 16 r. и 16 v.).

Не только прямая ссылка на Архимеда, но и весь характер аргументации говорят в этом доказательстве о том, что оно ид до пути, указанному "Равновесием плоских фигур". Но какая разница между четким, классически стройным эллинистическим произведением III в. до н. э. и беспорядочной записью итальянца XV в.! В немногих, по возможности кратких словах, отбрасывая все аксиомы, даже как бы не замечая сложной, ступенчато восходящей, почти безупречно логической цепи математических доказательств, Леонардо стремится передать самую суть аргументации Архимеда, ухватить ее основную черту. Подход Леонардо несколько напоминает нам обращение с архимедовым наследием у Герона, также передающего только суть и не приводящего доказательств великого сиракузца. Но Герон берет у Архимеда в основном только окончательный результат, так сказать, рецептуру; Леонардо же заимствует у него идею обоснования, ибо окончательный результат ему прекрасно и непоколебимо известен из опыта.

Приведенная выше запись, как будто бы наиболее полно и в наиболее совершенной форме передающая архимедов вариант леонардова обоснования закона рычага, отнюдь не является одинокой в его тетрадях. Таких записей, пестрых, разно сформулированных и не всегда достаточно ясно выраженных, имеется довольно много. Приведем, для примера, отрывок одной из них:

"О центре тяжести (рис. 83). Центр подвешенной тяжести находится на центральной линии поддерживающей ее нити, что доказывается грузами b, d, подвешенными на первых весах, центр тяжести каковых, хотя они будут соединены в одно тело, будет находиться в середине между двумя подвесами на одной линии. Допустить же это нужно потому, что вес а сопротивляется весу b на равных плечах весов, а второй вес с сопротивляется весу d, а так как расстояния, пропорциональные весам, суть nт и те, которые относятся как 2 к 3, и таково же, но обратно, отношение между весами, т. е. ас против bd, то Доказано, что центр е есть центр подвешенных грузов bud, независимо от того, разъединены ли они или соединены; то же, чак кажется, доказано о второй фигуре, и таким путем мы приходим к заключению третьей фигуры" (Е. 33 r.).

В данной записи, как и в ряде подобных ей, мы имеем отнюдь не общее обоснование закона рычага, а разбор одного частного вопроса, относящегося к нему. Но для нас важно не решение конкретной задачи, каких у Леонардо имеются сотни, а то, что вся аргументация, в достаточной степени запутанная и нечеткая, ведется, так сказать, по архимедовой, а не по схола- стической линии.

Таким образом, подытоживая все сказанное нами о леонардовых обоснованиях закона рычага-весов, мы можем констатировать следующее. Имея перед собой в этом вопросе три ранее разработанных пути, Леонардо решительно не стал ни на один из них, а предпочел испробовать каждый, в более поздние годы, склоняясь, по-видимому, все больше к пути, указанному Архимедом. Однако, применяя тот или другой метод обоснования закона рычага, Леонардо сохраняет в своих рассуждениях только его внешнюю оболочку, только направление. Самое же доказательство его, часто весьма сложную, математическую суть, он полностью отбрасывает как ненужное, так как несомненность конечного вывода дается не математическими рассуждениями, а непосредственным опытом. Тот или иной метод обоснования ему нужен только для возведения твердо установленного им на опыте соотношения к той или другой системе более общих положений-законов.

Из этого следует, что леонардовы доказательства закона рычага, будучи формально весьма несовершенными, и по существу являлись достаточно бесплодными. Они представляют собой один из многих в его творчестве примеров стремления связать новые, диктуемые новыми социальными отношениями методы и пути, подмеченные зорким глазом художника-техника, с кодексом положений и законов, завещанных предками, что было, понятно, задачей безнадежной.

Однако, как обычно в творчестве Леонардо, теоретическое обоснование закона рычага, составляя важную, органическую часть его учения о рычаге, вообще не является ни особенно разработанной, ни наиболее привлекающей, его внимание частью. Наиболее подробно, внимательно, можно сказать любовно, разбирает Леонардо отдельные, частные случаи равновесия грузов на рычаге, отдельные элементы, определяющие собой это равновесие.

Мы помним, что уже арабские трактаты, особенно в некоторых вариантах своих, давали ряд конкретных примеров-задач на весомый рычаг и что так же поступали и трактаты школы Иордана. Но и в тех и в других центром является теоретическое доказательство, частные же примеры представляют собой не более чем иллюстрации. У Леонардо же соотношение меняется. Теоретическое рассмотрение вопроса служит у него только необходимым, но далеко не исчерпывающим весь вопрос введением к рассмотрению ряда конкретных, более или менее сложных задач.

Нет никакой возможности, даже в столь подробном изложении механических работ Леонардо, хотя бы в какой-нибудь мере исчерпывающе разобрать те многочисленные задачи на теорию невесомого геометрического рычага (о весомом речь будет итти ниже), которые содержатся в записях Леонардо. Слишком велико их число, слишком разнородны и несводимы они в несколько групп, слишком конкретны и подробны бывают их решения. Поэтому мы принуждены ограничиться рассмотрением нескольких, наудачу выбранных из них.

Само собой понятно, что, Леонардо, решая ряд задач на теорию рычага, которую он, так же как Витрувий и Альберти, считает ключом ко всей и всяческой технике, пытается дать определения основных понятии, с которыми эти задачи должны оперировать. Такие определения, по отдельности или группами, разбросаны по листам ряда кодексов. Приведем одну из наиболее поздних записей:

"6 определений.

"Под плечами весов понимаются те их части, которые кончаются в подвесах прикрепленных к ним грузов.

"Под грузами, прикрепленными к плечам весов, понимаются те их части, в которых подвесы соединяются с их центрами на плечах весов.

"Углы, образуемые подвесами с плечами весов, должны быть равны между собой всегда, когда грузы, подвешенные к ним, сопротивляются один другому.

"Углы, создающиеся между подвесом оси весов и их плечами никогда не будут равны между собой, если грузы и плечи весов не равны между собой.

"То же неравенство грузов, сопротивляющихся на плечах весов, будут создавать тем более различные углы, образующиеся между верхней частью (il disopra) плеч весов и подвесом их оси, чем более близки они будут к центру мира" (С. А. 365 r. а.). Особенно внимательно и подробно, как видно уже из приведенной записи, Леонардо останавливается на подвесах; так, в другом месте того же "Атлантического кодекса" он пишет:

"Подвес есть физическая прямая (rettitudine materiale), направленная к центру мира, причем, если с ней соединена малая тяжесть в ее нижней части, то она держит ее подвешенной в воздухе.

"Подвес есть нить, укрепленная в своей верхней части, причем направление (la rettitudine) этой нити, укрепленной в своем верхнем конце, поддерживает на противоположном конце небольшой вес в воздухе".

Затем то же определение повторяется еще в четырех вариантах, отличающихся друг от друга почти незаметными на первый взгляд словесными различиями. Запись оканчивается фразой:
"Подвесом называется та нить, которая соединяется с центральной линией подвешенного на ней весомого тела" (С. А. 35-1 .г. с.).

Внимательное всматривание в отдельные элементы, отдельные составные части рычага, стремление проникнуть в их глубочайшую физическую сущность и охарактеризовать ее возможно более четко, ясно выступающее из приведенных двух записей, весьма показательно. Именно уразуметь физическую сущность явления во всей его детальной реальности, а не безукоризненной цепью доказательств подтвердить ту закономерность, которая и так бросается в глаза, стремится Леонардо, оставаясь и в данном случае в большей мере трезвым экспериментатором, чем отвлеченным теоретиком.

Из задач конкретного характера, решаемых Леонардо, чаще других встречающейся и наиболее тщательно разрабатываемой является задача, разрешение которой раньше других приходило в голову: какой груз надо подвесить на втором плече весов, чтобы весы остались в равновесии, когда известны величины плеч и величина груза на первом плече?

Первые относящиеся к этому вопросу записи Леонардо, как справедливо отметил Шустер, показывают еще полную беспомощность, как математическую, так и физическую, в решении даже столь простой задачи, беспомощность, напоминающую наивные рассуждения Альберта. Леонардо видит всю зависимость как бы в густом тумане и ощупью, отнюдь не на самом коротком пути, находит ее решение. Так, в ранней записи "Атлантического кодекса" он пишет:

"Правило нахождения противовеса к данному весу на одном из плеч весов.

"Помножь плечо противовеса столько раз на (per tante volte) величину данного веса, сколько раз в нем помещается противоположное плечо, и на произведение раздели величину веса; получающееся произведение даст искомый противовес к данному весу.

"Пусть с (рис. 84) будет данным весом, к которому я хочу на противоположном плече аb найти противовес. Я множу плечо ab столько раз на величину данного веса, равного 4, сколько раз в нем помещается противоположное плечо bс. А так как в данном случае плечи весов равны, то ты скажешь, что плечо противовеса аb содержит данный вес с, равный 4, один только раз, так как один только раз в плече ab помещается противоположное плечо bс, почему на полученное произведение 4 в а ты разделишь вес 4 в с и получишь 1. Эту единицу помножь на данный вес, произведение дает 4, каковое 4, помещенное в а, будет истинным противовесом 4 в с, так как равные веса, помещенные на равных плечах, сопротивляются опусканию одно другого.

"Помножь плечо аb (рис. 85), поддерживающее противовес а, столько раз на данный вес с, равный 2, сколько раз в нем помещается противоположное плечо bc, равное 1. В аb, равном 2, плечо bc, равное 1, помещается два раза. На полученное произведение, равное 4, раздели данный вес с, равный 2, и получишь ? . И эту половину опять умножь на данный вес с, равный 2, так что произведение будет 2/2, т. е. целая единица, каковая, будучи помещена в а, дает истинный противовес данному весу с.

"По тому же правилу ты скажешь (рис. 86): 8 ab на 8 с (ибо плечо аb помещает в себе 8 раз плечо bc) дает 64. Раздели это 8 с на 64, получится 8/64, и это число помножь опять на эти 8, получится 64/64, т.е. целая единица, каковая, будучи помещена в а, сопротивляется 8-ми.

"Докажи, почему этот способ (ragione) хорош. Ты увидишь, что здесь умножение плеча аb на вес с делается столько раз (на вес с?), сколько раз плечо bc помещается в аb, и получается, что образует 64 в а, а 64 так же относится к 8, как 8 к 1. Теперь, для того чтобы 64 превратить в 1. тебе необходимо разделить 8 на 64, что дает 8/64, то есть 1/8, а для того, чтобы эта восьмая превратилась в целое число, помножь эту 1/8 на 8 с и получишь 8/8, т. е. целую единицу, и будет хорошо (е sta bene)" (С. А. 36" r. А и v. 1).).

Шустер в современных алгебраических выражениях, конечно абсолютно чуждых Леонардо, формулирует все вышеизложенное, а Марколонго изображает последовательные действия, производимые во всех приведенных примерах, что и в том и в другом изображении дает в конечном расчете правильное решение.

В этом необычайно сложном рассуждении относительно крайне простого соотношения видны не только отмеченные уже выше неопытность и неловкость, смутное представление о рассматриваемом предмете, но и заведомое желание запутать читателя или, кернер, слушателя, подводя его после долгих математических выкладок к правильному решению. Вспомним, что Леонардо вообще не чужда была любовь к позированию, что, невидимому, проявляется и в данном случае. Не оставались; вне всякого сомнения, без влияния на данную аргументацию и сложные алгебраических выкладки доказательств "Книги Карастуна" Невидимому как раз в это время изучавшейся Леонардо.

Но чем бы ни объяснялись явные недостатки приведенного выше способа, прав Марколонго, который, полемизируя с Шустером, подчеркивает, что в этом способе мы имеем только раннюю стадию леопардовых знаний. Позднее, уже во второе флорентийское пребывание, Леонардо нашел значительно более простой способ решения той же задачи. Действительно, как раз на первой странице "Кодекса Арундель", в котором Леонардо в 1508 г. предполагал, очевидно, изложить основы механики, хотя еще не в окончательном порядке, но все же в некоем предварительном тематическом подборе, он дает в следующих выражениях основу основ механики — задачу на нахождение груза на противорычаге при известных плечах и грузе на рычаге:

"Помножь деления плеча рычага на фунты подвешенного к нему груза и произведение раздели на деления противорычага частное будет равно противовесу, который, будучи подвешен на противорычаге, сопротивляется опусканию груза на рычаге.

"Например: 2 nт помножь на вес d, что дает 8, раздели их на 4 то, получается 2, и это 2 есть противовес, который, будучи помещен в ое, сопротивляется опусканию 4, помещенных в nd (рис. 87).

"И, обратно, можно сказать: "Дважды четыре=8; раздели на 2 тn, получишь 4, итак, ты имеешь 4 для веса d, и это правило всегда подтверждается.

"Помножь большое плечо весов на вес, поддерживаемый им, и произведение раздели на меньшее плечо, частное будет вес, который, будучи помещен на меньшем плече, сопротивляется опусканию большего плеча, если раньше плечи весов были освобождены" (Аr. 1 r. и v.).

В последней записи действительно и неоспоримо мы имеем вполне четкое и простое решение задачи, оперирующее к тому же с произведением веса на плечо, т. е. с понятием момента силы. Однако это понятие применяется только как вспомогательное промежуточное звено и не выдвигается в качестве величины, определяющей равновесие рычага. Наталкиваясь на понятие момента силы, Леонардо, очевидно, не дошел до помещения его в центр теории рычага.

Дав рецепт для разрешения первой и простейшей задачи на закон рычага, Леонардо в дальнейшем усложняет его. Так, на листе 100 v. ab. "Атлантического кодекса" он пытается определить, на каких местах плеч весов надлежит расположить три данных груза, из которых больший и меньший помещены на одном плече, а средний на другом; чтобы весы были в равновесии. Рассуждение это, не законченное и в достаточной степени запутанное, сначала устанавливает длины плеч, на которых укреплены больший и средний грузы; последние он принимает по числу единиц длины равными разности между средним и меньшим — и большим и меньшим грузами. Этот прием напоминает применявшееся Альберти приравнение числа единиц длины плеч рычага к числу единиц веса грузов. Дальше, желая определить плечо меньшего груза, он запутывается и решения не дает.

Возможно, что данная или подобная ей задача подводит Леонардо к более простому вопросу — определению противовеса, сопротивляющегося на данном рычаге нескольким данным весам, расположенным, опять-таки, на данных противорычагах. Уже в одной из наиболее ранних своих механических записей, на пятой странице кодекса "А", он пишет (рис. 88):

"О весе. "Спрашиваю: если два рычага будут разделены на равные части и в а, b, с, d, е будет подвешен в каждой один фунт, сколько фунтов будут их уравновешивать в f? Сделай так: a уравновешивает один фунт, подвешенный в f, b уравновешивает 2, с — 3, d — 4 и е — 5, а вся сумма уравновешивает 15 фунтов, подвешенных в f" (А. 5 r.).

Простая, сравнительно, задача разрешается простым способом, без всякого теоретизирования и особых рассуждений. Обратную задачу уравновешения данного груза, помещенного на одном плече, несколькими равными грузами, помещенными на равных расстояниях на другом плече, так же просто и лаконично, даже без словесного объяснения, а просто чертежом, Разъясняет значительно более поздняя запись "Кодекса Арундель", гласящая:

"Раздели данный вес на пропорцию плеч и замени потом эти веса на эти плечи" (Аr. 227 v.) (рис. 89).

Значительно более трудной представляется Леонардо задача, как бы составленная из двух вышеприведенных. Полная формулировка этой задачи отнюдь не представляется ясной, но по-видимому, она сводится к следующему: даны три неравных груза, расположенных на равных расстояниях на одном плече весов; требуется найти три других груза, не равных первым расположенных на тех же трех равных расстояниях другого плеча весов, так чтобы весы остались в равновесии, и определить, какой вес в каждом из искомых грузов уравновешивает каждый из грузов данных. Решение, даваемое Леонардо этой довольно замысловатой, но, возможно, связанной с какой-нибудь конкретнейшей технической потребностью задаче, достаточно длинно, но настолько показательно для его научного метода, что мы приведем его полностью:

"Это правило показывает, каким образом ты можешь на плечо равноплечих весов поместить много грузов, противоположных один другому, и узнать о каждом грузе отдельно, какая часть противоположна ему в каждом из противолежащих грузов, уравновешивающих его, причем можно сделать это в дробях против дробей и в целых числах против целых чисел.

"Здесь (рис. 90, фиг. 1), так как расстояние оа содержится три раза в ау, 3 в у будет уравновешивать 9, и так как an содержится 1 ? раза в ау, т. е. an есть 2/3 у, 2 в у будет уравновешивать 3 в n, и так как расстояние ар содержится один раз в уа, то 4 в у будет также уравновешивать 4 в р. Теперь собери вместе числа в у, т. е. 3, 2 и 4, что дает 9, и помести его в круге, привешенном в у.

"Здесь (фиг. 2), так как bс есть ? расстояния ab, вес, противоположный ему в с, будет половиной веса а, и так как расстояния ab и bd равны, веса их также будут равны. И так как расстояние ab равно 2/3 be, вес в е будет 2/3 веса в а. Собери числа, сумма которых дает 7, и помести их в круг а.

"Здесь (фиг. 3) ab и bc — равные расстояния, и, следовательно, равными будут привешенные к ним веса, и так как ab есть половина расстояния bd, она дает половину веса, помещенного в a, а так как ab есть 1/3 веса в е, то вес в е будет 1/3 веса а. Собери затем числа, помещенные внизу, и помести в круг а.

"Эта фигура (фиг. 4) есть сумма трех, здесь же рядом соединенных вместе, и я решаю сначала для трех, чтобы показать легкий путь и затем итти по тяжелому. Сделай так: возьми верхнюю фигуру и помести ее 9 в нижнюю в т; затем возьми 7 из второй фигуры и помести его в n, затем возьми 16 из третьей и последней фигуры и помести его в о. Затем совмести стержни этих трех фигур и возьми первые веса и сложи их вместе, т. е. в первой фигуре возьми 9, во второй 2, в третьей 1, и сложи — получишь 12. Помести его в сводную фигуру в р, затем вернись к трем фигурам и возьми вторые веса за точкой опоры, т. е. в первой фигуре возьми 3, во второй 3, в третьей 3, а сумма их составляет 9, и помести их в q, затем сделай то же с тремя последними весами, остающимися в названных трех фигурах, и сложи их и помести, как выше, в r; ты увидишь, какая часть веса уравновешивает в каждом из трех противоположных грузов каждый из грузов.

"И знай, что если бы я снял или сбросил с вышеупомянутых весов 9, помещенные в т, и противоположные 9 в r, весы не изменили бы положения. Также, сняв 9 из т, я мог бы снять 9 из 12, помещенных в р, и 3 из 9, помещенных в q, и 4 из 9, помещенных в r, — и весы также остались бы в том же положении (С. А. 86 v. a.).

В этом отрывке мы видим обычную леонардову технику работы. Задача расчленяется на составные части — более простые, сводимые в конечном счете к простым задачам, заключающимся в разложении одного груза на несколько. Затем эти простые случаи опять сводятся и дают искомое решение. Самое доказательство логично, понятно, но, весьма элементарно и слишком пространно. За пределы частного случая решение не выходит. Последний абзац приведенной записи подводит нас уже в другой серии задач на рычаг, интересующих Леонардо: к теме влиянии на равновесие изменений, которые производятся с грузами, помещенными на плечах весов.

Так, на листе 79 r. "Кодекса Арундель" он записывает:

"Если к неравным вещам прибавить неравные вещи, находящиеся между собой в той же пропорции, как и первые, то общая сумма не изменит общей пропорции.

"Если к неравным весам прибавить равные веса, то суммы останутся неравными.

"Если к неравным вещам присоединить вещи, находящиеся в той же пропорции и в том же числе, что и первые, то суммы их, если они будут помещены в положениях, противоположных тем, в которых находятся первоначальные веса, будут равны" (Аr. 79r.).

В приведенной записи рассматривается, правда, абсолютно без доказательства, вопрос о прибавлении данных грузов к заданным грузам, поддерживающим или не поддерживающим весы в равновесии; в ряде других записей рассматривается близкий вопрос о влиянии на равновесие весов сдвигания одного или обоих грузов. Так, в ранней записи кодекса "А" мы встречаем следующее:

"О весах. Если отодвинуть (рис. 91) равные веса на равные расстояния от центра или оси весов, то они будут сохранять концы весов равноотстоящими от опоры их, т. е. если веса m, n, подвешенные в с, а, будут иметь равный вес и находиться на равном расстоянии от оси весов s и если ты их отдалишь от этой оси вплоть до d, b, то, если эти расстояния будут равны, концы весов р, r, останутся на равном расстоянии от /.

"О весах. Если неравные веса поместить на неравных расстояниях весов и последние при этом останутся горизонтальными, затем же отодвинуть их на равные расстояния, то весы наклоняются в сторону большего веса, т. е. если вес b (рис. 92) весит один фунт и уравновешивается тремя фунтами в с, то причина этому та, что b отстоит на 3 унции, а с отстоит от оси на 1 унцию, и необходимо дополнить их так, чтобы вес части, имеющие между собой ось, были количественно (dj numero) равны, т. е. если с есть 4—3 фунта веса и 1 деление, что дает 4, то таким же образом b будет иметь 3 деления и 1 фунт, что дает 4, и, следовательно, имея в фунтах и делениях по 4 на каждой стороне, весы будут горизонтальными.

"Если же теперь хочешь отдалить оба веса одинаковым образом от их места, то больший вес будет тянуть плечо весов вниз; причина же этого та, что если ты перемещаешь b в а и также с в d, то расстояние от оси до веса выходит из прежней пропорции, ибо со помещалось раньше три раза в оb, а после перемещения грузов в а и d, do помещается 2 раза в оа, а не 3, как раньше, и для того чтобы уравнять эти весы, необходимо было бы, чтобы вес 3 сделался равным 2, что было бы хорошо; если же нет — 3 опускается" (А. 42 v.).

В этом, повторяем, весьма раннем отрывке наблюдается серьезная путаница. Вначале Леонардо явно следует за данным Альберти рецептом сложения весов с делениями плеч, рецептом, как мы отмечали, правильным только при условии равенства суммы единиц веса в обоих грузах и суммы единиц делений на обоих плечах, условии, выдержанном и в примере Леонардо; затем же он раздвигает грузы, вследствие чего условие нарушается и правило сумм оказывается неприменимым. Тогда Леонардо бездоказательно, по но существу правильно утверждает, что при удалении на равные расстояния должно быть сохранено между этими весами отношение, равное отношению новых расстояний; при несоблюдении этого более тяжелый груз опустится.

На примере этой записи мы можем ясно проследить разницу между творчеством в области механики Леонардо и Альберти. В то время как Альберти, выставляя свое правило сумм, подкрепляет его одним частным примером и на этом успокаивается, Леонардо, перенимая у Альберти это правило, начинает экспериментировать над объектами, подчиняющимися ему. Отодвигая и придвигая грузы, он невольно обнаруживает недостаточность, вернее непригодность этого правила. Так, реальный, ощупываемый руками опыт, будучи введен в систему механики в качестве органической и основной ее составной части, начинает свою плодотворную работу по отсеву правильных теорий от хотя бы логически убедительных и стройных, но неправильных, — работу, которой столь недоставало механике схоластической.

Одной из наиболее сложных частных задач на теорию рычага, разрешаемых Леонардо, является задача о разнице между непрерывным и прерывным рычагом. Вопрос этот поднимается в нескольких записях. Наиболее ранняя и, пожалуй, наиболее интересная запись, посвященная этому вопросу, гласит:

"Какая разница между непрерывным и прерывным рычагом?

"Я намерен здесь (рис. 93) кратко показать разницу между прерывным и непрерывным рычагом. Предположим, что рычаг ab изображенный вверху, будет непрерывным рычагом, нижний же рычаг dk будет прерывным рычагом, который представляет собой результат изображенных выше трех колес. Итак, ты имеешь в непрерывном рычаге 30 рычага против 4 противорычага и то же имеешь в прерывном рычаге, и находишь, что в непрерывном рычаге два фунта находятся в равновесии с 15, которые привешены в конце противорычага, и, кроме того, находишь, что в прерывном рычаге те же два фунта находятся в равновесии с 1000, причем и тот и другой рычаги имеют 30 рычага против 4 противорычага. Теперь ты можешь узнать разницу, а именно, что одна более сильна, чем другая, в 66 раз и 10/15 и делает ее в 66 раз и 10/15 более медленной, и это соответствует законам природы, почему не может быть избегнуто (е questo e in nelle regole di natura, onde non si po scifare)" (C. A. 153 v. d.). Примерно, то же изложено в поздней записи "Кодекса Арундель":

"Если верхняя линия (рис. 94) будет иметь один локоть противорычага, то знай, что если ты привесишь и концу этого противорычага 1800 фунтов, а в конце рычага поместить 100 фунтов, то рычаг и противорычаг будут находиться в равновесии.

"Если же эта линия будет разделена на две равные части я первая будет иметь 1 противорычага и 9 рычага, то это дает 200 рычага, поднимающие на противорычаге 1800. Таким образом, вторая половина линии будет иметь на противорычаге только 200. Имея же один локоть в противорычаге и 8 в рычаге знай, что 25 будет находиться в равновесии с 200.

"И это утверждение кажется вещью удивительной, так как верхняя линия имеет 18 рычага против одного, а нижняя разделена на 2 противорычага и 17 рычага, причем 1800 будут подняты приблизительно 200 фунтами, и опыт показывает, что 25 исполняют работу 200" (Аr. 265 r.).

В приведенных двух записях мы видим, с одной стороны, выражение изумления по поводу явления, кажущегося невероятным при поверхностном подходе к нему; с другой же — в них, особенно в первой, с исключительной яркостью проступает практический, экспериментальный, подчиненный интересам техники подход Леонардо к задачам теории рычага; подход, который мы неоднократно выдвигали как наиболее характерную черту его научного творчества.



Гуковский М.А. Механика Леонардо да Винчи, 1947

Из мира познавательного